Bài 1 trang 23 toán 12

1. Giải bài bác 1 trang 23 sgk Giải tích 12

Tính giá bán trị bự nhất, giá trị nhỏ dại nhất của hàm số:

a) (y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35) trên những đoạn (<-4; 4>) và (<0;5>).

b) (y = x^4 – 3x^2 + 2) trên các đoạn (<0;3>) cùng (<2;5>).

c) (y =frac (2-x)(1-x)) trên các đoạn (<2;4>) với (<-3;-2>).

d) (y =sqrt(5-4x)) bên trên đoạn (<-1;1>).

Bài giải:

a) Xét hàm số (y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35)

– Tập xác định (D=mathbbR).

– Hàm số liên tục trên những đoạn <-4;4> và <0;5> nên gồm GTLN với GTNN trên mỗi đoạn này.

Ta có: y’ = 3x2 – 6x – 9 = 3(x2 – 2x – 3)

♦ bên trên đoạn <-4;4>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 3 in left< – 4;4 ight>\ x = – 1 in left< – 4;4 ight> endarray ight.)

Ta có: y(-4)=-41; y(4)=15; y(-1)=40; y(3)=8.

Vậy:

– giá chỉ trị lớn số 1 của hàm số là (mathop max ylimits_x in left< – 4;4 ight> = y( – 1) = 40).

– giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của hàm số là (mathop min ylimits_x in left< – 4;4 ight> = y( – 4) = – 41.)

♦ trên đoạn <0;5>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = 3 in left< 0;5 ight>\ x = – 1 otin left< 0;5 ight> endarray ight.)

Ta có: y(0)=35; y(5)=40; y(3)=8.

Vậy:

– giá bán trị lớn số 1 của hàm số là (mathop max ylimits_x in left< 0;5 ight> = y(5) = 40.)

– giá bán trị nhỏ nhất của hàm số là (mathop min ylimits_x in left< 0;5 ight> = y(3) = 8.)

b) Xét hàm số (y = x^4 – 3x^2 + 2)

– Tập xác định $D=R$

– Hàm số thường xuyên trên các đoạn (<0;3>) với (<2;5>) nên bao gồm GTLN và GTNN trên các đoạn này:

– Đạo hàm: y’=4x3-6x.

♦ trên đoạn <0;3>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = – sqrt frac32 otin left< 0;3 ight>\ x = 0 in left< 0;3 ight>\ x = sqrt frac32 in left< 0;3 ight> endarray ight.)

Ta có: y(0)=2; (yleft( sqrt frac32 ight) = – frac14); y(3)=56.

Vậy:

– giá chỉ trị lớn số 1 của hàm số:(mathop max ylimits_x in left< 0;3 ight> = yleft( 3 ight) = 56.)

– giá bán trị nhỏ dại nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 0;3 ight> = yleft( sqrt frac32 ight) = – frac14.)

♦ trên đoạn <2;5>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = – sqrt frac32 otin left< 2;5 ight>\ x = 0 otin left< 2;5 ight>\ x = sqrt frac32 otin left< 0;3 ight> endarray ight.)

Ta có: y(2)=6; y(5)=552

Vậy:

– giá bán trị lớn số 1 của hàm số (mathop max ylimits_x in left< 2;5 ight> = yleft( 6 ight) = 552.)

– giá trị nhỏ nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 2;5 ight> = yleft( 2 ight) = 6.)

c) Xét hàm số (y =frac (2-x)(1-x))

Hàm số bao gồm tập xác định D = R 1 và tiếp tục trên những đoạn <2;4> với <-3;-2> nằm trong D, do đó hàm số bao gồm GTLN, GTNN trên mỗi đoạn này.

Ta gồm :

Ta có: (y’=frac1.left( -1 ight)-1.left( -2 ight)left( x-1 ight)^2=frac1left( x-1 ight)^2>0 forall x e 1.)

Với (D=left< 2; 4 ight>) có: (yleft( 2 ight)=0; yleft( 4 ight)=frac23.)

Vậy (undersetxin left< 2; 4 ight>mathopmin ,y=0 khi x=2) và (undersetxin left< 2; 4 ight>mathopmax ,y=frac23 khi x=4.)

♦ bên trên đoạn <2;4>: (y(2)=0;y(4)=frac23.)

Vậy:

– giá trị nhỏ nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 2;4 ight> = yleft( 2 ight) = 0.)

– giá bán trị lớn số 1 của hàm số: (mathop max ylimits_x in left< 2;4 ight> = yleft( 4 ight) = frac23.)

♦ trên đoạn <-3;-2>: (y(-3)=frac54;y(-2)=frac43.)

Vậy:

– giá trị nhỏ nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< – 3;-2 ight> = yleft( – 3 ight) = frac54.)

– giá bán trị lớn số 1 của hàm số: (mathop max ylimits_x in left< – 3; – 2 ight> = yleft( – 2 ight) = frac43.)

d) Xét hàm số (y =sqrt(5-4x))

Hàm số bao gồm tập xác định ( mD = left( – infty ;frac54 ight>) nên xác định và liên tiếp trên đoạn <-1;1>, cho nên có GTLN, GTNN bên trên đoạn <-1;1>.

Ta có:(y’ = – frac2sqrt 5 – 4x

2. Giải bài xích 2 trang 24 sgk Giải tích 12

Trong số những hình chữ nhật cùng bao gồm chu vi 16 cm, hãy search hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Bài giải:

♦ phương pháp 1: Áp dụng bất đăng thức cô-si

Kí hiệu $x, y$ sản phẩm công nghệ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật $(0 x>0; 8>y>0)$.

Khi đó chu vi: $p=2(x+y)=16 ⇔ x+y=8 ⇔ y=8-x.$

Ta có diện tích của hình chữ nhật là:

$S=x.y=x(8-x) ⇔ S=-x^2 + 8x$.

Xét hàm số: $S(x) = -x$2 + 8x$ trên khoảng $(0, 8)$ ta có:

$S’=-2x + 8; S’= 0 ⇔ x=4$

Bảng đổi mới thiên:

Từ bảng biến chuyển thiên ta thấy hàm số đạt giá bán trị lớn số 1 tại x=4 khi đó maxS = 16.

Với $x=4$ suy ra $y=4$.

Vậy hình vuông vắn có cạnh bởi $4$ là hình có diện tích s lớn nhất.

3. Giải bài 3 trang 24 sgk Giải tích 12

Trong toàn bộ các hình chữ nhật thuộc có diện tích s $48 m^2$, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi bé dại nhất.

Bài giải:

♦ bí quyết 1: thực hiện bất đẳng thức cô-si:

♦ cách 2: Ứng dụng đạo hàm nhằm tìm giá trị lớn nhất và bé dại nhất của hàm số

Gọi x,y theo lần lượt là chiều dài với chiều rộng lớn của hình chữ nhật (x>0,y>0)

Ta có:

Khi kia chu vi của hình chữ nhật là (p=2(x+y) Leftrightarrow p=2x+frac96x.)

Xét hàm số (Pleft( x ight)=2left( x+dfrac48x ight)) bên trên (left( 0;+infty ight)) ta có:

(eginarraylP’left( x ight) = 2left( 1 – dfrac48x^2 ight) Rightarrow P’left( x ight) = 0 Leftrightarrow x^2 – 48 = 0\Leftrightarrow x^2 = 48 Leftrightarrow left< eginarraylx = 4sqrt 3 ; in left( 0; + infty ight)\x = – 4sqrt 3 ;; otin left( 0; + infty ight)endarray ight..endarray)

Ta có: (Pleft( 4sqrt3 ight)=16sqrt3.)

(eginalign và undersetx o 0mathoplim ,Pleft( x ight)=undersetx o 0mathoplim , 2left( x+dfrac48x ight)=+infty . \ & undersetx o +infty mathoplim ,Pleft( x ight)=undersetx o +infty mathoplim , 2left( x+dfrac48x ight)=+infty . \ và Rightarrow Min Pleft( x ight)=16sqrt3 khi x=4sqrt3. \ và Rightarrow y=dfrac484sqrt3=4sqrt3m. \ endalign)

Bảng biến đổi thiên:

Từ bảng vươn lên là thiên ta có: (min phường = 16sqrt 3) lúc (x = 4sqrt 3 ,).

Với (x = 4sqrt 3 ,Rightarrow y=frac48x=4sqrt 3).

Vậy hình vuông có cạnh (4sqrt 3 ,) là hình bao gồm chu vi nhỏ dại nhất theo yêu thương cầu bài toán.

4. Giải bài xích 4 trang 24 sgk Giải tích 12

Tính giá chỉ trị lớn nhất của các hàm số sau: