1. Cầm tắt định hướng cấp số cộng và cấp cho số nhân
1.1. Cung cấp số cộng
Định nghĩa.Bạn đang xem: Bài tập cấp số cộng cấp số nhân
dãy số $ (u_n) $ được khẳng định bởi $egincases u_1=u\u_n=u_n-1+d endcases$ được điện thoại tư vấn là cung cấp số cộng với số hạng đầu bởi $ u $ và công không nên $ d. $Tính hóa học 3 số hạng tiếp tục của cung cấp số cộng $$ u_k=fracu_k-1+u_k+12 $$Công thức số hạng tổng thể của cấp số cộng $$ u_n=u_1+(n-1)d $$Tổng $ n $ số hạng thứ nhất của cung cấp số cộng $$ S_n=u_1+u_2+…+u_n=fracn(u_1+u_n)2 $$
1.2. Cung cấp số nhân
Định nghĩa. dãy số $ (u_n) $ được khẳng định bởi $egincases u_1=u\u_n=u_n-1cdot q endcases$ được điện thoại tư vấn là cấp số nhân cùng với số hạng đầu bằng $ u$ cùng công bội $ q. $Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân $$ u_n=u_1cdot q^n-1 $$Tính chất 3 số hạng liên tiếp của cấp cho số nhân $$ u_k^2=u_k-1.u_k+1 $$Tổng $ n $ số hạng đầu tiên của cấp số nhân $$ S_n=u_1+u_2+…+u_n=u_1frac1-q^n1-q ,,, (q e 1)$$2. Bài tập cấp số cộng
Ví dụ 1. Cho cung cấp số cộng bao gồm $ u_1=10,d=-4. $ tìm $ u_10 $ với $ S_10 $.
Hướng dẫn. Sử dụng phương pháp số hạng tổng quát, ta tất cả số hạng sản phẩm công nghệ $10$ của cấp số cùng là $$ u_10=u_1 + (10-1)d = 10+9(-4)=-26 $$ Tổng ( 10 ) số hạng thứ nhất của cấp cho số cộng đã cho là $$ S_10 = frac10left(u_1+u_10 ight)2=-80 $$
Ví dụ 2. Cho cha số dương $ a, b, c $ lập thành cấp cho số cộng. Chứng minh rằng:
$a^2+2bc=c^2+2ab$$a^2+8bc=(2b+c)^2$$(a^2+ab+b^2),(a^2+ac+c^2),(b^2+bc+c^2)$ lập thành cung cấp số cộngHướng dẫn. Ta có bố số dương $ a, b, c $ lập thành cấp số cộng khi và chỉ còn khi $ 2b=a+c $.
$a^2+2bc=c^2+2ab$ tương tự với $$ a^2+(a+c)c=c^2+(a+c)a $$ Khai triển nhì vế đẳng thức này được điều hiển nhiên đúng.$a^2+8bc=(2b+c)^2$ tương tự với $$ a^2+4c(a+c)=(a+c+c)^2 $$ Khai triển nhì vế đẳng thức này được điều hiển nhiên đúng.$(a^2+ab+b^2),(a^2+ac+c^2),(b^2+bc+c^2)$ lập thành cung cấp số cùng khi còn chỉ khi$$ (a^2+ab+b^2) + (b^2+bc+c^2) = 2 (a^2+ac+c^2)$$ Khai triển và rút gọn gàng ta được eginalign*&ab+bc+2b^2=a^2+2ac+c^2\Leftrightarrow và (a+c)b+2b^2=(a+c)^2endalign* cố gắng ( a+c=2b ) vào nhì vế đẳng thức bên trên ta được ( 4b^2=4b^2 ), đây là điều rõ ràng đúng.Ví dụ 3. tìm số hạng đầu và công không nên của cung cấp số cùng $ (u_n) $ biết
$ egincases u_1-u_3+u_5=10\ u_1+u_6=17 endcases $$ egincases u_7-u_3=8\u_2.u_15=75 endcases $$ egincases u_1+u_4+u_5=25\u2-u_8=-24 endcases $Ví dụ 4. khẳng định $ x $ để cha số $ 10 – 3x, 2x^2 + 3, 7 – 4x $ lập thành một cấp cho số cộng.
Hướng dẫn. Ba số $ 10 – 3x, 2x^2 + 3, 7 – 4x $ lập thành một cấp số cộng khi và chỉ còn khi $$ 10-3x+7-4x=2(2x^2+3) $$ Giải phương trình này, tìm được ( x=1, x=-frac114 ).
Ví dụ 5. Xác định một cấp số cộng bao gồm 3 số hạng, biết tổng của chúng bằng 9 cùng tổng bình phương là 125.
Giải: gọi $d$ là công không nên của cung cấp số cộng và ba số đề nghị tìm là $(x – d),x, (x + d)$ thì ta tất cả hệ phương trình:
$$ egincasesx-d+x+x+d=9\ (x-d)^2+x^2+(x+d)^2=125endcases $$
Giải hệ trên, ta tìm được với $d = 7$ cấp số cộng sẽ là $-4, 3, 10$ với với $d = -7$ cung cấp số là $10;,3,-4$.
Ví dụ 6. Xác định 4 góc của một tứ giác lồi, biết rằng số đo 4 góc lập thành một cấp cho số cùng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ dại nhất.
Hướng dẫn. Gọi $d=2a$ là công không đúng thì tư số phải tìm là $$x – 3a,x – a,x + a,x + 3a$$ Ta tất cả hệ phương trình: $$ egincasesleft( x-3 exta ight)+left( x-a ight)+left( x+a ight)+left( x+3a ight)=360^circ\left( x+3a ight)=5left( x-3a ight)endcases $$ Giải hệ này, tìm kiếm được ( x=90^circ ) với ( a=20^circ ). Suy ra, tư góc nên tìm là:A = 300; B = 700 ; C = 1100 ; D = 1500.
Ví dụ 7. Tìm tổng các số hạng thường xuyên từ lắp thêm 6 đến thứ 14 của cấp cho số cộng có số hạng thứ ba là 16 và công sai bởi 4.
Ví dụ 8. Cho hàm số $ y=x^3-3x^2-9x+m $ gồm đồ thị là $ (C). $ kiếm tìm $m$ chứa đồ thị $(C)$ giảm trục hoành tại tía điểm phân biệt tất cả hoành độ lập thành một cung cấp số cộng?
Hướng dẫn. Giả sử bố hoành độ là $ x_1,x_2,x_3 $. Từ $ x_1+x_3=2x_2 $ và Viét suy ra $ x_2=1. $ từ bỏ đó tìm được $ m $ cùng thử lại. Đáp số $ m=11. $
Ví dụ 9. search $m$ chứa đồ thị hàm số $ y=x^4-2(m-1)x^2+2m+1 $ giảm trục hoành tại tư điểm phân khác hoàn toàn thành một cung cấp số cộng.Đáp số. $ m=4 $ với $ m=-frac49. $
Ví dụ 10. Cho phương trình : $x^4+3x^2-left( 24+m ight)x-26-n=0$. Tìm hệ thức contact giữa $m$ và $n$ để phương trình bao gồm 3 nghiệm khác nhau $x_1,x_2,x_3$ lập thành một cấp số cộng?
Hướng dẫn. Vì 3 nghiệm rành mạch : $x_1,x_2,x_3$ lập thành cung cấp số cùng , đề nghị ta rất có thể đặt: $$x_1=x_0-d,x_2=x_0,x_3=x_0+dleft( d e 0 ight)$$ Theo trả thiết ta có: $$x^3 + 3x^2 – left( 24 + m ight)x – 26 – n = left( x – x_1 ight)left( x – x_2 ight)left( x – x_3 ight)$$
Nhân ra và đồng nhất hệ số ở nhì vế của phương trình ta tất cả hệ: $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarrayl– 3x_0 = 3\3x_0^2 – d^2 = – left( 24 + m ight)\– x_0^3 + x_0d^2 = – 26 – nendarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx_0 = – 1\3 – d^2 = – 24 – m\1 – d^2 = – 26 – nendarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx_0 = – 1\m = nendarray ight.endarray$$ Vậy cùng với $m=n$ thì tía nghiệm khác nhau của phương trình lập thành cung cấp số cộng.
Ví dụ 11. Tính tổng toàn bộ các nghiệm của phương trình $ sin^23x-5sin3x+4=0 $ trên khoảng tầm $ (0;50pi) $.
Đáp số. $ frac3725pi2 $.
3. Bài xích tập cấp số nhân
Ví dụ 1. mang lại dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n = frac52$ cùng $u_n + 1 = 3u_n – 1$ với đa số $n geqslant 1$. Chứng tỏ rằng dãy số $(v_n)$ xác định bởi $v_n = u_n = frac – 12$ với mọi $n geqslant 1$ là một trong những cấp số nhân. Hãy cho thấy số hạng đầu với công bội của cung cấp số nhân đó.
Hướng dẫn. Từ công thức xác định dãy số $ (u_n) $ và $ (v_n) $ ta có$$v_n + 1 = u_n + 1 – frac12 = 3u_n – 1 – frac12 = 3left( u_n – frac12 ight) = 3v_n ext với mọi ngeqslant 1. $$ Ta thấy ngay, $ (v_n) $ là 1 trong cấp số nhân với số hạng đầu $ v_1=2 $ và công bội $ q=3. $
Ví dụ 2. Một cấp cho số nhân bao gồm 5 số hạng , công bội bằng một phần bốn số hạng thứ nhất , tổng của nhị số hạng đầu bởi 24. Tìm cấp số nhân đó.
Hướng dẫn. Theo mang thiết ta có $$eginarrayl,,,,,,u_1 + u_2 = u_1 + frac14left( u_1 ight) = 24\Rightarrow u_1 + frac14u_1^2 – 24 = 0\Leftrightarrow u_1 = – 12 vee u_1 = 8endarray$$ Vậy gồm hai cấp số nhân tương xứng là $8,16,32,128$ hoặc $-12,36,-108,-972$.
Ví dụ 3. kiếm tìm số hạng đầu cùng công bội của cấp cho số nhân $ (u_n) $ biết
$ egincases u_4-u_2=72\u_5-u_3=144 endcases $$ egincases u_1-u_3+u_5=65\u_1+u_7=325 endcases $Ví dụ 4. Tìm tư góc của một tứ giác, biết rằng những góc đó lập thành cấp số nhân và góc cuối cấp 9 lần góc thứ hai.
Ví dụ 5. Tìm những số dương $ a,b $ thế nào cho $ a,a+2b,2a+b $ lập thành một cấp số cùng còn $ (b+1)^2,ab+5,(a+1)^2 $ lập thành một cấp cho số nhân.
Ví dụ 6. tìm $m$ để phương trình $ x^3+2x^2+(m+1)x+2(m+1)=0 $ có ba nghiệm lập thành một cung cấp số nhân.
Hướng dẫn. Phương trình sẽ cho tương đương với $$ (x+2)(x^2+m+1)=0 Leftrightarrow left<eginarraylx=-2 \ x^2=-m-1endarray ight.$$Phương trình đã mang lại có tía nghiệm khi và chỉ khi $$ egincasesmTH1. ( -5TH2. ( m
Tóm lại, không có giá trị như thế nào của ( m ) thỏa mãn nhu cầu yêu cầu.
Ví dụ 7.
Xem thêm: Trường Đại Học Lấy Điểm Thấp Ở Hà Nội 2021, Các Trường Đại Học Hà Nội Lấy Điểm Thấp
Tính tổng $$ S=1+frac13+frac13^2+cdots+frac13^2015 $$
Ví dụ 8. Tìm những số hạng đầu của cung cấp số nhân $(u_n)$ hiểu được $$ egincasesu_1+u_2+u_3+u_4=15\u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=85endcases $$Hướng dẫn. Giả sử cấp cho số nhân phải tìm bao gồm số hạng đầu bằng ( x ) và công bội ( q e 1). áp dụng công thức tổng $n$ số hạng đầu của một cấp cho số nhân, bọn họ có$$ u_1+u_2+u_3+u_4=fracxleft(q^4-1 ight)q-1=15 $$ Bình phương nhị vế ta được $$ x^2(q^4-1)^2/(q-1)^2 = 225 $$ Đối với tổng $ u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2$ ta rất có thể coi đây đó là tổng tứ số hạng đầu của một cấp số nhân cùng với số hạng đầu là ( x^2 ) và công bội ( q^2 ) bắt buộc tổng của bọn chúng là $$u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=fracx^2left(q^8-1 ight)q^2-1=85 $$
Chia từng vế nhị phương trình bên trên ta được $$ fracleft(q^4-1 ight)left(q^2-1 ight)left(q-1 ight)^2left(q^8-1 ight) =frac22585$$Rút gọn gàng rồi nhân chéo cánh ta được phương trình $$ 14q^4 – 17q^3 – 17q^2 – 17q + 14 = 0 $$ Đến đây có thể sử dụng laptop để giải, tìm được nghiệm ( q=2,q=frac12 ). Hoặc để ( t=q+frac1q ) và đưa về phương trình bậc nhì ẩn ( t ).
Lời giải chi tiết cho lấy ví dụ như này, mời thầy cô và các em học viên xem trong đoạn phim sau: