Các Dạng Bài Tập Cực Trị Cực Đại Hay Nhất, Các Dạng Bài Tập Về Cực Trị Cực Đại Hay Nhất

A. Bắt tắt lí thuyết

1. Khái niệm cực trị hàm số

Giả sử hàm số fxác định trên tập hợpD (D⊂ℝ)vàxo∈D

a)xođược gọi là mộtđiểm cực đạicủa hàm số f nếu tồn tại một khoảng(a; b)chứa điểmxosao cho:

Khi đó f(xo)được gọi làgiá trị cực đạicủa hàm số f.

Bạn đang xem: Bài tập cực trị

b)xođược gọi là mộtđiểm cực tiểucủa hàm số f nếu tồn tại một khoảng(a; b)chứa điểmxosao cho:

Khi đó f(xo)được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Giá trị cực đại với giá trị cực tiểu được gọi thông thường làcực trị

Nếuxolà một điểm cực trị của hàm sốfthì người ta nói rằng hàm sốfđạt cực trị tại điểmxo.

Như vậy: Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợpD (D⊂ℝ)

Nhấn mạnh:xo∈(a; b)⊂Dnghĩa làxolà một điểm vào của D

Chú ý

Giá trị cực đại (cực tiểu) f(xo)nói phổ biến không phải là GTLN (GTNN) của f trên tập hợpD.Hàm số gồm thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tâp hợpD. Hàm số cũng tất cả thể không tồn tại điểm cực trị.xolà một điểm cực trị của hàm số fthì điểm(xo;f(xo))được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm sốfđạt cực trị tại điểmxo. Khi đó , nếufcó đạo hàm tại điểmxothìf ‘(xo) = 0

Chú ý:

Đạo hàmf ‘có thể bằng 0 tại điểmxonhưng hàm sốfkhông đạt cực trị tại điểmxo.Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm nhưng tại đó hàm số không tồn tại đạo hàmHàm số chỉ gồm thể đạt cực trị tại một điểm nhưng mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại đó hàm số không tồn tại đạo hàm.Hàm số đạt cực trị tạixovà nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm(xo;f(xo))thì tiếp tuyến đó tuy nhiên song với trục hoành

Ví dụ : Hàm sốy = |x|và hàm sốy = x3

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lý 2: Giả sử hàm sốf liên tục bên trên khoảng(a; b)chứa điểmxovà tất cả đạo hàm trên những khoảng(a;xo)và(xo; b). Lúc đó:

Định lý 3: Giả sử hàm sốfcó đạo hàm cấp một bên trên khoảng(a; b)chứa điểmxo; f‘(xo) = 0vàfcó đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểmxo

a) Nếuf”(xo) o

b) Nếuf”(xo) o

Chú ý:

Không cần xét hàm sốfcó hay không có đạo hàm tại điểmx = xonhưng không thể bỏ qua điều kiệnhàm số liên tục tại điểmxo

B. Bài bác tập search cực trị của hàm số

Dạng 1: tra cứu cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

Quy tắc kiếm tìm cực trị của hàm số

* Quy tắc 1:

Bước 1. Tra cứu tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính y". Tìm những điểm tại đó y" bằng 0 hoặc y" ko xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

* Quy tắc 2:

Bước 1. Kiếm tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f"(x). Giải phương trình f"(x) và ký hiệu xi(i = 1; 2; 3... Là các nghiệm).

Bước 3. Tính f""(x) cùng f""(xi) .

Bước 4. Dựa vào dấu của f""(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

II. Ví dụ minh họa

Cho hàm số y = x3– 3x2+ 2. Khẳng định như thế nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 với đạt cực đại x = 0 .

C. Hàm số đạt cực đại tại x = -2 cùng cực tiểu tại x = 0 .

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 cùng cực tiểu tại x = -2.

Lời giải

Ta có: y" = 3x2- 6x = 0

Và y"" = 6x - 6

Suy ra: y""(0) = -6 0

Do đó: hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2.

Suy ra chọn đáp án B

Dạng 2: tra cứu tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm.

I. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x; m). Search m để hàm số đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

* Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.

* Bước 2: vày hàm số đã mang đến đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

Giải hệ phương trình ta tìm kiếm được giá chỉ trị của m thỏa mãn.

* Chú ý: Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm M(x0; y0) thì y""(x0) 0; y0) thì y""(x0) > 0

II. Ví dụ minh họa

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3– mx2+ (2m – 3)x - 3 đạt cực đại tại x = 1.

A. M = 3

B. M > 3

C. M ≤ 3

D. M Lời giải:

* Ta có đạo hàm: y" = 3x2– 2mx + 2m - 3

Để hàm số đạt cực đại x = 1 thì

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 3: Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

* Cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d

Đạo hàm y" = 3ax2+ 2bx + c; Δ"= b2– 3ac

Xét phương trình: 3ax2+ 2bx + c = 0 (*)

Phương trình (1) vô nghiệm hoặc bao gồm nghiệm kép thì hàm số đã cho không tồn tại cực trị.

Vậy hàm số bậc ba không có cực trị khi b2– 3ac ≤ 0

Phương trình (1) bao gồm hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 điểm cực trị

Vậy hàm số bậc 3 tất cả 2 cực trị khi b2– 3ac > 0

* Cực trị của hàm trùng phương

Cho hàm số y = ax4+ bx2+ c gồm đồ thị là (C)

Đạo hàm y" = 4ax3+ 2bx. Xét phương trình y" = 0

Hay 4ax3+ 2bx = 2x(2ax2+ b) = 0

Để đồ thị hàm số đã cho có một điểm cực trị khi cùng chỉ lúc phương trình y" = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 hoặc phương trình (1) nhận x = 0 là nghiệm

Để đồ thị hàm số đã cho tất cả 3 điểm cực trị khi với chỉ lúc phương trình (1) tất cả 2 nghiệm phân biệt không giống 0 hay

II. Ví dụ minh họa

Cho hàm số y = (m - 1)x3– 3x2– (m + 1)x + 3m2– m + 2. Để hàm số bao gồm cực đại, cực tiểu xác định m?

A. M = 1

B. M ≠ 1

C. M > 1

D. M tùy ý.

Lời giải:

* bí quyết 1:

Ta tất cả đạo hàm y" = 3(m - 1)x2- 6x - m - 1

Để hàm số đã cho bao gồm cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y" = 0 bao gồm hai nghiệm phân biệt :

* biện pháp 2:

Áp dụng công thức điều kiện để hàm bậc cha có cực đại, cực tiểu

Hàm số gồm cực đại, cực tiểu khi

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 4: bài toán tương quan đến cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

1. Kỹ năng giải nhanh những bài toán cực trị hàm số bậc cha y = ax3+ bx2+ cx + d.

Ta gồm đạo hàm y" = 3ax2+ 2bx + c

Bài toán: Viết phương trình đi qua hai điểm nhị điểm cực trị của hàm số:

Đồ thị hàm số gồm 2 điểm cực trị khi phương trình y" = 0 bao gồm hai nghiệm phân biệt x1, x2

Ta có: y = g(x).y"(x) + r(x) trong đó r(x) là phần dư của phép chia y mang lại y".

Khi đó phương trình đường thẳng đi qua nhì điểm cực trị của đồ thị hàm số là: y = r(x).

(chú ý: bởi x1, x2là điểm cực trị cần y"(x1) = 0; y"(x2) = 0).

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số tất cả hai điểm cực trị thỏa mãn hệ thức T.

+ search điều kiện để hàm số có cực trị.

+ đối chiếu hệ thức để áp dụng Viet đến phương trình bậc hai.

2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.

Cho hàm số: y = ax4+ bx2+ c có đồ thị là (C).

Xem thêm: Hướng Dẫn Soạn Bài Bố Cục Và Phương Pháp Lập Luận Trong Bài Văn Nghị Luận

Ta bao gồm y" = 4ax3+ 2bx = 2x(2ax2+ b)

Đồ thị hàm số (C) có cha điểm cực trị khi y" = 0 gồm 3 nghiệm phân biệt⇔ -b/2a > 0

Hàm số bao gồm 3 cực trị là: A(0;c)

Độ dài những đoạn thẳng:

CÔNG THỨC TÍNH NHANH

Ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện

STT	Dữ kiện	Công thức thỏa ab 3= 0
2	Tam giác ABC đều	24a + b3= 0
3	Tam giác ABC có góc∠BAC = α
4	Tam giác ABC bao gồm diện tích SΔABC= S0	32a3(S0)2+ b5= 0
5	Tam giác ABC có diện tích max (S0)
6	Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp rΔABC= r0
7	Tam giác ABC tất cả độ dài cạnh BC = m0	a.m02+ 2b = 0
8	Tam giác ABC gồm độ lâu năm AB = AC = n0	16a2n02- b4+ 8ab = 0
9	Tam giác ABC có cực trị B, C∈ Ox	b2– 4ac = 0
10	Tam giác ABC gồm 3 góc nhọn	b(8a + b3) > 0
11	Tam giá bán ABC có trọng trung ương O	b2– 6ac = 0
12	Tam giác ABC gồm trực trung ương O	b3+ 8a - 4ac = 0
13	Tam giác ABC có nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp RΔABC= R0
14	Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi	b2– 2ac = 0
15	Tam giác ABC có O là chổ chính giữa đường tròn nội tiếp	b3– 8a – 4abc = 0
16	Tam giác ABC bao gồm O là trung khu đường tròn ngoại tiếp	b3– 8a – 8abc = 0
17	Tam giác ABC có cạnh BC = k.AB = k.AC	b3k2- 8a(k2- 4) =0
18	Trục hoành chia ΔABC thành nhị phần tất cả diện tích bằng nhau	b2= 4√2\|ac\|
19	Tam giác ABC gồm điểm cực trị bí quyết đều trục hoành	b2– 8ac = 0
20	Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là: