Nội dung lý thuyết về các tìm (quy tắc) tìm cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số các em đã được tìm hiểu ở bài trước. Bài này chúng ta sẽ vận dụng giải một số bài tập tìm cực trị của hàm số.

Bạn đang xem: Bài tập tìm cực trị của hàm số


Một số dạng bài tập cơ bản như tìm cực trị (cực đại, cực tiểu) áp dụng quy tắc I hoặc quy tắc II (với một số bài toán chúng ta có thể áp dụng bất kỳ 1 trong 2 cách để tìm cực trị); hay các bài toán chứng minh điểm cực đại, cực tiểu; tìm tham số m để hàm cực đại hay cực tiểu tại 1 điểm,... sẽ được giới thiệu trong bài viết này.

• Lý thuyết Cực trị của hàm số và 2 quy tắc tìm cực trị

* Bài 1 trang 18 SGK Giải tích 12: Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10

b) y = x4 + 2x2 - 3

c) 

*

d) y = x3(1 - x)2

e) 

*

> Lời giải:

a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10

- TXĐ: D = R


*

- Kết luận :

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; yCĐ = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = -54.

b) y = x4 + 2x2 - 3

- TXĐ: D = R

 y"= 4x3 + 4x = 4x(x2 + 1) = 0; 

 y" = 0 ⇔ 4x(x2 + 1) = 0 ⇔ x = 0

- Bảng biến thiên:

*

 Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = -3

 Hàm số không có điểm cực đại.

c) 

*

- TXĐ: D = R\{0}

*
 ; 
*

- Bảng biến thiên:

*

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; yCĐ = -2;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 2.

d) y = x3(1 - x)2

- Ta có: y"= (x3)’.(1 – x)2 + x3.<(1 – x)2>’

 = 3x2.(1 – x)2 + x3.2(1 – x).(1 – x)’

 = 3x2(1 – x)2 - 2x3(1 – x)

 = x2.(1 – x)(3 – 5x)

 y" = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

- Bảng biến thiên:

*

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 3/5 ; yCĐ = 108/3125

Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 1. yCT = 0;

> Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.

e) 

*

- Ta có: TXĐ: D = R.

 

*

*
 
*

- Bảng biến thiên:

*

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1/2, yCT = (√3)/2.

* Bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12: Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x4 - 2x2 + 1;

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx;

d) y = x5 - x3 - 2x + 1

> Lời giải:

a) y = x4 - 2x2 + 1;

- TXĐ: D = R.

- Ta có: y" = 4x3 - 4x

 y" = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.

- Lại có y" = 12x2 - 4

 y"(0) = -4 0 ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

 y"(-1) = 8 > 0 ⇒ x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số.

b) y = sin2x – x

- TXĐ: D = R.

- Ta có: y" = 2cos2x – 1;

 y" = 0 ⇔ 2cos2x - 1 = 0 ⇔ cos2x = 1/2

 

*
 
*

- Lại có: y"" = -4sin2x

*
*
là các điểm cực tiểu của hàm số.

d) y = x5 - x3 - 2x + 1

- TXĐ: D = R

- Ta có: y"= 5x4 - 3x2 - 2

 y" = 0 ⇔ 5x4 – 3x2 – 2 = 0

 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.

- Lại có: y" = 20x3 - 6x

 y"(-1) = -20 + 6 = -14 0

⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

* Bài 3 trang 18 SGK Giải tích 12: Chứng minh hàm số y = √|x| không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt được cực tiểu tại điểm đó.

> Lời giải:

- Hàm số có tập xác định D = R và liên tục trên R.

- Chứng minh hàm số y = f(x) = √|x| không có đạo hàm tại x = 0.

*

- Ta có: 

 

*
 
*

 

*
*
*

*

⇒">⇒ Nên không tồn tại giới hạn: 

*

⇒ Không tồn tại đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 0.

Dễ thấy 

*
 với mọi x ∈ R và f(0) = 0 nên x = 0 chính là điểm cực tiểu của hàm số.

* Bài 4 trang 18 SGK Giải tích 12: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số: 

 y = x3 - mx2 - 2x + 1

luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

> Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Ta có: y" = 3x2 - 2mx – 2

 y" = 0 ⇔ 3x2 – 2mx – 2 = 0 

*

- Lại có: y"" = 6x – 2m. nên:

 

*
 là một điểm cực tiểu của hàm số.

- Vậy với mọi giá trị tham số của m thì hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

- Nhận xét: Thực ra, với yêu cầu của bài toán này thì chúng ta chỉ cần tính Δ" = m2 - 6 > 0 với mọi giá trị của m, nên y" luôn có 2 nghiệm phân biệt và y" đổi dấu khi qua các nghiệm đó. (hàm đa thức bậc 3 có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu khi và chỉ khi y"=0 có 2 nghiệm phân biệt).

* Bài 5 trang 18 SGK Giải tích 12: Tìm a và b để các cực trị của hàm số:

 

*

đều là những số dương và xo = -5/9 là điểm cực đại.

> Lời giải:

- TXĐ: D = R.

- Ta có: y" = 5a2x2 + 4ax – 9.

⇒ y"" = 10a2x + 4a.

Xem thêm: Xem Tử Vi Canh Thìn 2021 Nữ Mạng, Xem Tử Vi 2021 Tuổi Canh Thìn Nữ Mạng

• Nếu a = 0 thì y" = -9 2x2 + 4ax – 9 = 0

 ⇔ 5(ax)2 + 4(ax) – 9 = 0

 

*

Khi đó, ta có:

*

¤ TH1: x = 1/a là điểm cực đại (điểm này phải trùng x0 bài cho), khi đó

 

*

¤ TH2: x =(-9)/5a là điểm cực đại (điểm này phải trùng x0 bài cho), khi đó:

 

*

Kết luận:

*
 hoặc 
*
 là các giá trị cần tìm.