Bạn hy vọng giải được các bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia các đa thức, biến đổi biểu thức tại cấp học thcs và thpt thì chúng ta cần nắm rõ được 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ như bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu của hai bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng nhị lập phương và hiệu nhị lập phương. Để tham khảo thêm về các hằng đẳng thức này, bọn họ cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

Bạn đang xem: Bài tập về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ


Công thức 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ

*


1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng sẽ bởi bình phương của số thứ nhất cộng nhì lần tích của số trước tiên và số lắp thêm hai, tiếp đến cộng cùng với bình phương của số đồ vật hai.

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Ví dụ:

a) Tính ( a + 2)2.

b) Viết biểu thức x2+ 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.

Lơi giải:

a) Ta có: ( a + 2)2= a2+ 2.a.2 + 22 = a2 + 4a + 4.

b) Ta gồm x2+ 4x + 4 = x2+ 2.x.2 + 22 = ( x + 2 )2.

2. Bình phương của một hiệu

Bình phương của một hiệu sẽ bởi bình phương của số thứ nhất trừ đi nhì lần tích của số đầu tiên và số lắp thêm hai, tiếp nối cộng với bình phương của số máy hai.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Ví dụ: Tính (3x -y)2

Ta có: (3x -y)2 = (3x)2 – 2.3x.y + y2 = 9x2 – 6xy + y2 

3. Hiệu của hai bình phương

Hiệu hai bình phương nhì số bởi tổng nhì số đó, nhân cùng với hiệu nhì số đó.

a2 – b2 = (a-b)(a+b)

Ví dụ: Tính (x – 2)(x +2)

Ta có: (x – 2)(x +2) = x2 – 22 = x2 – 4

4. Lập phương của một tổng

Lập phương của một tổng nhị số bằng lập phương của số sản phẩm công nghệ nhất, cùng với ba lần tích bình phương số trước tiên nhân số đồ vật hai, cộng với cha lần tích số đầu tiên nhân cùng với bình phương số máy hai, rồi cộng với lập phương của số đồ vật hai.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ví dụ: Tính: (2x2+3y)3

(2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3

5. Lập phương của một hiệu

Lập phương của một hiệu nhì số bằng lập phương của số trang bị nhất, trừ đi tía lần tích bình phương của số trước tiên nhân cùng với số sản phẩm công nghệ hai, cộng với ba lần tích số đầu tiên nhân cùng với bình phương số máy hai, sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai.

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Ví dụ: Tính (x – 3)3

(x – 3)3 = x3 – 3.x2.3 + 3.x.32 – 33 = x3 – 9x2 + 27x – 27

6. Tổng hai lập phương

 Tổng của nhị lập phương nhì số bằng tổng của nhì số đó, nhân với bình phương thiếu hụt của hiệu nhị số đó.

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Ví dụ: Viết dưới dạng tích x3 + 64

x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)

7. Hiệu nhì lập phương

Hiệu của hai lập phương của nhì số bởi hiệu nhì số đó nhân cùng với bình phương thiếu thốn của tổng của nhị số đó.

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Ví dụ:

a, Tính 53– 23.b) Viết biểu thức ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) bên dưới dạng hiệu hai lập phương

Hướng dẫn:

a) Ta có: 53– 23= ( 5 – 2 )( 52 + 5.2 + 22 ) = 3.39 = 117.b) Ta có : ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) = x3 – (2y)3 = x3 – 8y3.

Hệ quả hằng đẳng thức

Ngoài ra, 7 hằng đẳng thức kỷ niệm trên thì bọn họ còn bao gồm hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi biến đổi lượng giác minh chứng đẳng thức, bất đẳng thức,…

Hệ trái với hằng đẳng thức bậc 2

(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab(a – b)2 = (a + b)2 – 4aba2 + b2 = (a + b)2 – 2ab(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc(a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc(a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2ac – 2bc

Hệ trái với hằng đẳng thức bậc 3

a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)a3 – b3 = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a -b)(b – c)(c – a)(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a +b)(b +c)(c + a)

Hệ trái tổng quát

an + bn = (a + b)(an-1 – an-2b + an-3b2 – an-4b3 +…+ a2bn-3 – a.bn-2 + bn-1)an – bn =(a – b)(an-1 + an-2b + an-3b2 +…+ a2bn-3 + abn-2 + bn-1)

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc

Các dạng bài xích tập 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng 1: Tính giá bán trị của các biểu thức.

Tính cực hiếm của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 trên x = -1

Lời giải.

Ta tất cả : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2 = (-3)2 = 9

⇒ Kết luận: Vậy trên x = -1 thì A = 9

Dạng 2: minh chứng biểu thức A nhưng mà không dựa vào biến.

Ví dụ: minh chứng biểu thức sau không dựa vào vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

Lời giải.

Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào thay đổi x.

Dạng 3: Áp dụng nhằm tìm giá trị nhỏ tuổi nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.

Ví dụ: Tính giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5

* Lời giải:

Ta bao gồm : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

Vì (x – 1)2 ≥ 0 với đa số x.

⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 tuyệt A ≥ 4

Vậy giá chỉ trị nhỏ nhất của A = 4, vệt “=” xẩy ra khi : x – 1 = 0 tuyệt x = 1

⇒ tóm lại GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1

Dạng 4: minh chứng đẳng thức bằng nhau.

Ví dụ: Tính giá chỉ trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2

Lời giải:

Ta bao gồm : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với tất cả x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với tất cả x

⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4

⇔ A ≤ 4 lốt “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 tuyệt x = 2

⇒ kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.

Dạng 5: chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ: minh chứng đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Lời giải:

Đối cùng với dạng toán này chúng ta chuyển đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A

Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).

⇒ Kết luận, vậy :(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Xem thêm: Đại Học Phí Trường Đại Học Tôn Đức Thắng Học Phí Chuẩn Và Chính Xác Nhất

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2

Lời giải:

Ta có : A = x2 – 4x + 4 – y2 <để ý x2 – 4x + 4 tất cả dạng hằng đẳng thức>

= (x2 – 4x + 4) – y2

= (x – 2)2 – y2

= (x – 2 – y )( x – 2 + y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x

= x(x2 – 4x + 4)

= x(x2 – 2.2x + 22)

= x(x – 2)2

Dạng 7: Tìm quý hiếm của x

Ví dụ:Tìm giá trị củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0

Lời giải.

x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0

⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

Hy vọng với những kiến thức và kỹ năng về 7 hằng đẳng thức kỷ niệm và các dạng bài bác tập thường gặp mà cửa hàng chúng tôi vừa chia sẻ có thể khiến cho bạn áp dụng vào bài bác tập nhé