Vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để giải các dạng bài xích tập là trong những nội dung loài kiến thức quan trọng không chỉ trong công tác lớp 8 mà bọn chúng còn được sử dụng liên tục ở những lớp học sau này.
Bạn đang xem: Bài tập về hằng đẳng thức
Hiểu được điều đó, nội dung bài viết này sẽ hệ thống lại những dạng bài bác tập vận dụng 7 hằng đẳng thức kỷ niệm cùng những ví dụ cụ thể để những em hoàn toàn có thể nắm vững kiến thức về những hằng đẳng thức, rèn luyện được kỹ năng biến đổi 7 hằng đẳng thức 1 cách linh hoạt trong các dạng toán.
I. Kiến thức và kỹ năng cần lưu giữ về 7 hằng đẳng thức
1. Bình phương của một tổng
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
* Ví dụ bài bác 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
a) x2 + 2x + 1 = (x)2 + 2.(x).(1) + (1)2 = (x+1)2
b) 9x2 + y2 + 6xy = 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.(3x).(y) + (y)2 = (3x+y)2
2. Bình phương của một hiệu
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
* Ví dụ bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
c) 25a2 + 4b2 - 20ab = 25a2 - 20ab + 4b2 = (5a)2 - 2.(5a).(2b) + (2b)2 = (5a+2b)2
d)
3. Hiệu nhì bình phương
A2 – B2 = (A – B)(A + B)
* Ví dụ: Viết bên dưới dạng tích biểu thức: 4x2 - 9
* Lời giải:
- Ta có: 4x2 - 9 = (2x)2 - (3)2 = (2x-3)(2x+3)
4. Lập phương của một tổng
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
* Ví dụ bài bác 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính
a) (2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3
5. Lập phương của một hiệu
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
* Ví dụ bài xích 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính
b) 
6. Tổng nhị lập phương
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
* Ví dụ: Viết bên dưới dạng tích x3 + 64
x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)
7. Hiệu hai lập phương
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích 8x3 - y3
8x3 - y3 = (2x)3 - y3 = (2x-y)<(2x)2 - (2x).y + y2> = (2x-y)(4x2 + 2xy + y2)
* Chú ý: a+b= -(-a-b) ;
(a+b)2= (-a-b)2 ;
(a-b)2= (b-a)2 ;
(a+b)3= -(-a-b)3 ;
(a-b)3=-(-a+b)3
II. Những dạng toán áp dụng 7 hằng đẳng thức
• Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 trên x = -1
* Lời giải.
- Ta có : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
- tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9
⇒ Kết luận: Vậy trên x = -1 thì A = 9
• Dạng 2 : chứng minh biểu thức A không dựa vào vào biến
Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
* Lời giải.
- Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không dựa vào vào vươn lên là x.
• Dạng 3 : Tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức
Ví dụ: Tính giá chỉ trị bé dại nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5
* Lời giải:
- Ta tất cả : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4
- Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.
⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 tốt A ≥ 4
- Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, vết "=" xảy ra khi : x – 1 = 0 tốt x = 1
⇒ kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1
• Dạng 4 : Tìm giá bán trị lớn số 1 của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2
* Lời giải:
- Ta gồm : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2
- vì chưng (x – 2)2 ≥ 0 với đa số x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với những x
⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4
⇔ A ≤ 4 Dấu "=" xảy ra khi : x – 2 = 0 tuyệt x = 2
⇒ kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.
• Dạng 5 : minh chứng đẳng thức bằng nhau
Ví dụ: minh chứng đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
* Lời giải:
- Đối với dạng toán này chúng ta biến hóa VT = VP hoặc VT = A cùng VP = A
- Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3
= 6a2b + 2b3
= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).
⇒ Kết luận, vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
• Dạng 6 : minh chứng bất đẳng thức
- chuyển đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Tiếp nối dùng những phép biến hóa đưa A về một trong 7 hằng đẳng thức.
Ví dụ 1: minh chứng biểu thức A nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến, biết: A = x2 - x + 1
* Lời giải:
- Ta có:
- do
Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức B nhận quý giá âm với đều giá trị của thay đổi x, biết: B = (2-x)(x-4)-2
* Lời giải:
- Ta có: B = (2-x)(x-4) - 1 = 2x - 8 - x2 + 4x - 2 = -x2 + 6x - 9 - 1 = -(x2 - 6x + 9) - 1 = -(x-3)2 - 1
- Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 - 1 ≤ -1 • Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ 1: Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2
* Lời giải:
- Ta bao gồm : A = x2 – 4x + 4 – y2 <để ý x2 – 4x + 4 gồm dạng hằng đẳng thức>
= (x2 – 4x + 4) – y2
= (x – 2)2 – y2
= (x – 2 – y )( x – 2 + y)
⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x
= x(x2 – 4x + 4)
= x(x2 – 2.2x + 22)
= x(x – 2)2
Ví dụ 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x 2 – 2xy – x + 2y
= (x 2– x) + (2y – 2xy)
= x(x – 1) – 2y(x – 1)
= (x – 1)(x – 2y)
Ví dụ 4: Phân tích C thành nhân tử biết: C = x2 – 5x + 6
= x2 – 2x – 3x + 6
= x(x – 2) – 3(x – 2)
= (x – 2)(x – 3)
• Dạng 8: Tìm quý hiếm của x
Ví dụ: Tìm cực hiếm củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0
* Lời giải.
x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0
⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0
⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0
⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2
⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2
• Dạng 9 : tiến hành phép tính phân thức
Ví dụ: Tính quý hiếm của phân thức tại x = –1
* Lời giải:
- Ta gồm :
- lúc x = -1 :
⇒ Kết luận, vậy: I = 1/2 tại x = -1 .
III. Bài tập vận dụng 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ
Bài 17 trang 11 SGK toán 8 tập 1: chứng tỏ rằng: (10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25
Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một vài tự nhiên bao gồm tận cùng bằng chữ số 5.
Áp dụng nhằm tính: 252; 352; 652; 752
* Lời giải Bài 17 trang 11 SGK toán 8 tập 1:
- Ta có: (10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + 52 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25
- Đặt A = a(a + 1). Khi ấy ta có:
- bởi vậy, nhằm tính bình phương của một số trong những tự nhiên có dạng
* Áp dụng:
252 = 625 (Vì 2.3 = 6)
352 = 1225 (Vì 3.4 = 12)
652 = 4225 (Vì 6.7 = 42)
752 = 5625 (Vì 7.8 = 56)
Bài 18 trang 11 SGK toán 8 tập 1: Hãy tra cứu cách giúp đỡ bạn An khôi phục lại hầu hết hằng đẵng thức bị mực làm cho nhòe đi một số chỗ:
a) x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2
b) ... - 10xy + 25y2 = ( ... - ...)2
Hãy nêu một đề bài bác tương tự.
Xem thêm: Bài Tập Tìm Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Hàm Số Lượng Giác Lớp 11 Nâng Cao
* lời giải bài 18 trang 11 SGK toán 8 tập 1:
a) thuận tiện nhận thấy đó là hằng đẳng thức (A+B)2 với:
A = x ; 2.AB = 6xy ⇒ B = 3y.
- Vậy ta có hằng đẳng thức: x2 + 2.x.3y + (3y)2 = (x + 3y)2 hay x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2