Biểu diễn số phức

Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trong mp(Oxy) (mp phức)

Trong dạng này, ta chạm mặt các bài toán trình diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập đúng theo điểm biểu diễn một số trong những phức z trong những số ấy số phức z thỏa mãn nhu cầu một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức). Khi đó ta giải bài toán này như sau:

Giả sử z = x+yi (x, y ∈ R). Khi ấy số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y). áp dụng dữ kiện của đề bài để search mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hòa hợp điểm M.

Bạn đang xem: Biểu diễn số phức

tài năng cơ bản.

Tìm điểm trình diễn của số phức z vừa lòng điều kiện mang lại trước:

+ Số phức z = a + bi (a, b ) được màn trình diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức.

+ Trục Ox biểu diễn những số thực điện thoại tư vấn là trục thực, trục Oy biểu diễn những số ảo call là trục ảo

+ Số phức z = a + bi (a, b ) cũng rất được biểu diễn vày vectơ $overrightarrowu=(a;b)$, vì thế M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b $in mathbbR$) cũng có nghĩa là $overrightarrowOM$ màn biểu diễn số phức đó.

Ta có: ví như $overrightarrowu,overrightarrowv$ theo lắp thêm tự biểu diễn các số phức z, z’ thì

$overrightarrowu+overrightarrowv$ biểu diễn số phức z + z’,

$overrightarrowu-overrightarrowv$ trình diễn số phức z – z’,

k$overrightarrowu ext (kin mathbbR)$ trình diễn số phức kz,

$left| overrightarrowOM ight|=left| overrightarrowu ight|=left| z ight|$, với M là vấn đề biểu diễn của z.

bài bác tập luyện tập.

Bài 1: tìm điểm trình diễn của số phức z biết:

a) Điểm trình diễn số phức $z=2-3i$có tọa độ là:: $left(2;-3 ight)$.

b)Điểm trình diễn số phức $z=-2i$ gồm tọa độ là: $left(0;-2 ight)$

c) mang lại số phức $z=6+7i$. Số phức liên hợp của $z$ bao gồm điểm màn biểu diễn là: $left(6;-7 ight)$.

d)Điểm trình diễn của số phức $z=frac12-3i$ là: $left(frac213;,,frac313 ight)$.

e) mang lại số phức$z=2016-2017i$. Số phức đối của $z$là $-Z=-2016+2017i$ bao gồm điểm trình diễn là: $left(-2016; 2017 ight)$

g)Điểm màn trình diễn số phức $z=frac(2-3i)(4-i)3+2i=-1-4i$ tất cả tọa độ là $left(-1;-4 ight)$.

h)Trong khía cạnh phẳng 0xy, điểm trình diễn của số phức $z=fraci^2016(1+2i)^2$là điểm nào?

$z=fraci^2018(1+2i)^2=fraci^4.504+2(-3+4i)=fraci^2(-3+4i)=frac-1(-3+4i)=frac325+frac425i$

Điểm trình diễn của số phức $z=fraci^2016(1+2i)^2$là điểm $left(frac325;frac425 ight)$.

Bài 2: cho số phức z = 1+ 3i cùng số phức z’ = 2 + i. Hãy:

a) màn biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức.

b) màn trình diễn số phức z + z’ và z’ – z bên trên mp phức.

Giải:

a) màn trình diễn số phức z = 1 + 3i là vấn đề M(1;3)

Biểu diễn số phức z’ = 2 + i là điểm M’(2;1)

b) z + z’ = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức vì P(3;4

z’ – z = 1 – 2i, màn trình diễn trên mp phức bởi vì Q(1;-2).

Bài 3: Tập hòa hợp số phức z trên hệ tọa độ phức nhưng thỏa mãn $|z+1-i|=|z-1+2i$

Giả sử z = a + bi (a,b ∈ℝ). Ta có

(left| z + 1 – i ight| = left| z – 1 + 2i ight| Leftrightarrow left| (a + 1) + (b – 1)i ight| = left| (a – 1) + (b + 2)i ight|)

(Leftrightarrow (a + 1)^2 + (b – 1)^2 = (a – 1)^2 + (b + 2)^2)

(Leftrightarrow 4a – 6b – 3 = 0)

Vậy phương trình con đường thẳng đề nghị tìm là 4x – 6y – 3 = 0

Bài 4: Tập hòa hợp số phức z bên trên hệ tọa độ phức mà lại thỏa mãn $|z+3i−2|=10$

Mỗi số phức $z = x+yi$ được trình diễn bởi một điểm (x;y). Cho nên vì vậy ta có tập số phức z thỏa mãn là:$|x+3i+yi−2|=10⇔(x−2)^2+(y+3)^2=100$ là mặt đường tròn tâm I(2,-3), nửa đường kính R=10

Bài 5:  Tập hòa hợp số phức z trên hệ tọa độ phức nhưng thỏa mãn $left| z-3i ight|+ left| iarz+3 ight|=10$.

Gọi $z=x+yi$

Theo bài xích ra ta tất cả $sqrtx^2 +(y-3)^2 +sqrt(y+3)^2+ x^2 =10$

$Rightarrow x^2 +(y-3)^2 =100 + (y+3)^2+ x^2 -20 sqrt(y+3)^2+ x^2 $

$Rightarrow 10 sqrt(y+3)^2+ x^2 =50+6y$

$Rightarrow 25x^2 +16y^2 =400$

Tập hợp những điểm trong mp tọa độ $Oxy$ biểu diễn số phức bài xích ra là Elip gồm phương trình

$(E): dfracx^216 +dfracy^225 =1$

Bài 6: tìm tập hợp các điểm màn biểu diễn của số phức z thế nào cho $u=fracz+2+3iz-i$ là một số trong những thuần ảo.

Giải

Đặt z= x+ yi (x, y $in R$), khi đó:

$u=fracleft(x+2 ight)+left(y+3 ight)ix+left(y-1 ight)i=fracleftleftx^2+left(y-1 ight)^2$

$=fracleft(x^2+y^2+2x+2y-3 ight)+2left(2x-y+1 ight)ix^2+left(y-1 ight)^2$

u là số thuần ảo khi và chỉ khi

$left{ eginalignx^2+y^2+2x+2y-3=0 \x^2+left(y-1 ight)^2>0 \endalign ight.$$Leftrightarrow left{ eginalignleft(x+1 ight)^2+left(y+1 ight)^2=5 \left(x;y ight) e left(0;1 ight) \endalign ight.$

Vậy tập hợp những điểm màn biểu diễn của z là mặt đường tròn trọng tâm I(-1;-1), nửa đường kính $sqrt5$ trừ điểm (0;1)

Đặt z= x+ yi (x,y $in R$)

Ta có:

$eginalignleft| z-i ight|=left| left(1+i ight)z ight|Leftrightarrow left| x+left(y-1 ight)i ight|=left| left(x-y ight)+left(x+y ight)i ight| \Leftrightarrow x^2+left(y-1 ight)^2=left(x-y ight)^2+left(x+y ight)^2 \endalign$$Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-1=0Leftrightarrow x^2+left(y+1 ight)^2=2$

Vậy tập hợp những điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn tất cả phương trình $x^2+left(y+1 ight)^2=2$

Bài 8: (Vận dụng)Trong các số phức z thỏa mãn nhu cầu điều kiện $left| z-2-4i ight|=left| z-2i ight|$.Tìm số phức z tất cả môđun nhỏ dại nhất.

Giả sử số phức z đề xuất tìm gồm dạng z = x + yi (x,y Î R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y).

Ta có$left| x-2+(y-4)i ight|=left| x+(y-2)i ight|$ (1) $Leftrightarrow sqrt(x-2)^2+(y-4)^2=sqrtx^2+(y-2)^2$

$Leftrightarrow y=-x+4$. Cho nên vì thế tập hợp những điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn nhu cầu (1) là đường thẳng x + y = 4. Còn mặt khác $left| z ight|=sqrtx^2+y^2=sqrtx^2+x^2-8x+16=sqrt2x^2-8x+16$

Hay $left| z ight|=sqrt2left(x-2 ight)^2+8ge 2sqrt2$

Do đó $left_min Leftrightarrow x=2Rightarrow y=2$. Vậy $z=2+2i$

Bài 9: (Vận dụng) biết rằng số phức z thỏa mãn $u=left(z+3-i ight)left(overlinez+1+3i ight)$là một số trong những thực. Tìm giá chỉ trị bé dại nhất của $left| z ight|$.

Xem thêm: Giảm Cân Với Ăn Yến Mạch Với Sữa Chua Có Đường Có Giảm Cân Không

Giải

Đặt z= x+ yi (x, y $in R$) ta có

$u=leftleft=x^2+y^2+4x-4y+6+2left(x–y-4 ight)i$

Ta có: $uin RLeftrightarrow x-y-4=0$

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là vấn đề biểu diễn của z thì mô đun của z nhỏ nhất khi còn chỉ khi độ dài OM nhỏ dại nhất $Leftrightarrow OMot d$ tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i.

Bài 10: (Vận dụng)Tìm số phức Z gồm mô đun lớn số 1 và vừa lòng điều khiếu nại $left| overlinezleft(1+i ight)-3+2i ight|=fracsqrt132$

Giải

Gọi $z=x+yi(x,yin R)Rightarrow arz=x-yi$

$left| arzleft. (1+i)-3+2i ight| ight.=fracsqrt132Leftrightarrow x^2+y^2-x-5y+frac398=0$

Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn của z trong phương diện phẳng tọa độ Oxy$Rightarrow Min (C)$là đường tròn có tâm $I(frac12;frac52)$và nửa đường kính $R=fracsqrt264$