Hình chữ nhật là gì ? Hình chữ nhật tất cả những đặc thù gì? vết hiệu nhận thấy hình chữ nhật thế nào hay cách chứng tỏ tứ giác là hình chữ nhật cố kỉnh nào mang đến hay lại nhanh gọn ... Toàn bộ những mắc mắc này sẽ tiến hành pragamisiones.com chia sẻ qua nội dung bài viết sau đây. Bạn tò mò nhé !
I. LÝ THUYẾT VỀ HÌNH CHỮ NHẬT
1. Định nghĩa
Hình chữ nhật là tứ giác bao gồm bốn góc vuông. Hình chữ nhật cũng là 1 hình bình hành.
Bạn đang xem: Các cách chứng minh hình chữ nhật
ABCD">ABCDlà hình chữ nhật⇔A^=B^=C^=D^=90∘">⇔ˆA=ˆB=ˆC=ˆD=90∘
Nhận xét:Hình chữ nhật cũng là 1 trong những hình bình hành cũng là một trong những hình thang cân.
2. Tính chất
Hình chữ nhật là có tất cả các đặc điểm của hình bình hành với hình thang cân.
- nhì cạnh đối song song, hai cạnh đối bởi nhau, nhì góc đối bằng nhau
- nhị đường chéo cánh bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
3. Dấu hiệu nhận biết
a) Tứ giác có bố góc vuông là hình chữ nhật.
b) Hình thang cân bao gồm một góc vuông là hình chữ nhật.
c) Hình bình hành gồm một góc vuông là hình chữ nhật.
d) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
4. Định lí
a. Định lí 1:Trong Hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau trên trung điểm mỗi đường. Ngược lại, nếu như tứ giác gồm 2 đường chéo cánh bằng nhau và cắt nhau trên trung điểm của mỗi con đường là hình chữ nhật.
Ví dụ:Cho tứ giác ABCD có AC = BD và cắt nhau tại O, trong số đó OA = OB = OC = OD, chứng minh Tứ giác ABCD là Hình chữ nhật.
Xét tam giác ABD có:
OA = OB = OD (gt) => ∆ABD vuông tại A
( Tính chấtđường trung tuyến ứng cùng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền trong tam giác vuông )
Chứng minh tương tự, ta có:
∆ABC vuông trên B, ∆BCD vuông tại C, ∆CDA vuông tại D
=> Tứ giác ABCD là hình chữ nhật do gồm 4 góc vuông.
b. Định lí 2:Áp dụng vào Tam giác
+ vào tam giác vuông mặt đường trung tuyến đường ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
+ nếu một tam giác gồm đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
Ví dụ:Cho tam giác ABC, mặt đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng cùng với H qua I. Minh chứng tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
⇒ HE là mặt đường trung đường của Δ AHC.
⇒ HI = ½AC = AI = IC.
Mà E đối xứng với H qua I ⇒ HI = IE.
Khi đó ta gồm HI = IE = AI = IC.
+ Xét Δ HCE gồm CI là con đường trung con đường ứng với cạnh HE
mà CI = ½ HE ⇒ Δ HCE vuông tại C.
Chứng minh tương tự ta có: Δ AHE, Δ AEC phần đa là các tam giác vuông tại A, E.
Xét tứ giác AHCE có Góc EAH = AHC = HCE = CEA = 90°
⇒ Tứ giác AHCE là hình chữ nhật. ( đ.p.c.m )
II. MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH CHỮ NHẬT CỰC HAY
Cách 1: minh chứng hình thang cân tất cả một góc vuông là hình chữ nhật
Ví dụ:Cho hình thang cân ABCD với AB // CD, đưa sử góc D = 90°. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật
Theo trả thiết:Góc D= 90°
Ta có: AB // CD (ABCD là hình thang)
⇒Góc A+D = 180° (hai góc trong thuộc phía)⇒ Góc A = 90°
Lại bao gồm Góc A + Góc C = 180° ⇒Góc C = 90°
Vậy tứ giác ABCD có 3 gócA = B = C= 90°
⇒ ABCD là Hình chữ nhật.( đ.p.c.m )
Cách 2: minh chứng tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
Ví dụ:Cho tứ giác ABCD bao gồm ∆ABC vuông trên A, ∆BCD vuông trên B, ∆CDA vuông tại C. Tứ giác ABCD là hình gì. Do sao?
Theo bài ra, ta có:
∆ABC vuông trên A ⇒ Góc BAC = 90°
∆BCD vuông trên B ⇒ Góc CBD = 90°
∆CDA vuông trên C ⇒ Góc DCA = 90°
⇒ Góc ADC = 90° (Tổng 4 góc của một tứ giác bừng 360 độ)
⇒ Tứ giác ABCD là hình chữ nhậtdo gồm bốn góc vuông.( đ.p.c.m )
Cách 3: chứng tỏ hình bình hành gồm hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung đường BM, CN cắt nhau tại G. Hotline D là điểm đối xứng cùng với B qua M, gọi E là vấn đề đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? bởi vì sao?
Theo bài ra, ta có: G là trọng tâm của ΔABC.
⇒ GB = 2GM và GC = 2GN
Điểm D đối xứng cùng với điểm G qua điểm M⇒ MG = MD tuyệt GD = 2GMSuy ra: GB = GD (3)
Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N⇒ NG = NE xuất xắc GE = 2GNSuy ra: GC = GE (4)
Từ (3) và (4) ⇒ Tứ giác BCDE là Hình bình hànhdo nhì đường chéo cánh cắt nhau tại trung điểm từng đường. (5)
Xét ΔBCM cùng ΔCNB, có:
BC cạnh chungGóc BCM = CBN (tính chất tam giác cân)CM = BN (vì AB = AC)
Suy ra: ΔBCM = ΔCBN (c.g.c)
⇒ Góc B1=C1⇒ ΔGBC cân nặng tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE (6)
Từ (5) cùng (6), suy ra: BCDE là hình chữ nhậtdo là hìnhbình hành bao gồm hai đường chéo bằng nhau.( đ.p.c.m )
Cách 4: chứng minh hình bình hành gồm một góc vuông là hình chữ nhật
Ví dụ:Cho tam giác ABC vuông cân nặng tại C. Trên cạnh AC, BC rước lần lượt những điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ bỏ điểm phường vẽ PM // BC (M nằm trong AB). Chứng tỏ tứ giác PCQM là hình chữ nhật.
Theo bài bác ra, ta có:
∆ABC vuông trên C ⇒ AC ⊥ BC = > AP ⊥ PM
⇒ ∆APM vuông cân nặng tại P
⇒ AP = PM
Lại có: AP = CQ
Mà PM // CQ
⇒ MNPQ là hình bình hành (1)
Mặt khác:Góc C= 90° (2)
Từ(1) và(2)⇒ Tứ giácMNPQ là hình chữ nhật( đ.p.c.m )
III. BÀI TẬP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH CHỮ NHẬT
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Những tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau như bên trên hình vẽ. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.
Giải
Đặt
Áp dụng đặc điểm góc trong cùng phía vào AB//CD, ta được:
Áp dụng tính chất về góc vào ΔADE , ta được:
Chứng minh tựa như ta được
Tứ giác EFGH bao gồm bốn góc vuông cho nên nó là hình chữ nhật.
Bài 2:Tứ giác ABCD tất cả hai đường chéo vuông góc với nhau. điện thoại tư vấn E, F, G, H thứu tự là trung điểm của những cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? vày sao?
Giải
Tứ giác EFGH là hình chữ nhật.
Giải thích: Từ trả thiết ta tất cả EF, GH sản phẩm công nghệ tự là đường trung bình của các tam giác ABC và ADC.
Áp dụng định lí mặt đường trung bình vào nhị tam giác này ta được:
Chứng minh tương tự, ta cũng rất được EH//FG//BD. (2)
Từ (1) với (2) suy ra tứ giác EFGH có những cạnh đối tuy vậy song nên nó là hình bình hành.
Gọi O là giao điểm của AC cùng với BD và I là giao điểm của EF với BD
Áp dụng đặc điểm góc đồng vị vào những đường thẳng tuy vậy song làm việc trên và giả thiết ta có:
Như vậy hình bình hành EFGH gồm một góc vuông vì thế nó là hình chữ nhật.
Xem thêm: Chất Không Có Khả Năng Làm Xanh Nước Quỳ Tím Là M Xanh Nước Quỳ Tím Là Chất Nào?
Bài 3:Cho tứ giasc ABCD gồm AC⊥BD. Hotline E, F, G, H thứu tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Minh chứng rằng tứ giác EFGH là hình chữ nhật.