Bạn đang xem: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 10
Bạn đang xem trăng tròn trang mẫu của tư liệu "19 phương thức chứng minh Bất đẳng thức", để cài đặt tài liệu cội về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Xem thêm: Vua Hùng Vương Thứ 18 … - Hùng Vương Là Ai Và Lịch Sử Các Vua Hùng
PHẦN 1CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý1/Định nghĩa 2/Tính chất+ A>B + A>B với B >C + A>B A+C >B + C + A>B với C > D A+C > B + D + A>B cùng C > 0 A.C > B.C + A>B với C B > 0 A > B + A > B A > B với n lẻ + > A > B với n chẵn + m > n > 0 với A > 1 A >A + m > n > 0 và 0 0)+ ( lốt = xẩy ra khi A.B B. Ta lập hiệu A –B > 0 lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" MVí dụ 1 " x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z)Giải:a) Ta xét hiệu : x + y + z- xy – yz – zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)=đúng với tất cả x;y;z vày (x-y)2 0 với"x ; y dấu bằng xẩy ra khi x=y (x-z)2 0 với"x ; z vết bằng xẩy ra khi x=z (y-z)2 0 với" z; y lốt bằng xẩy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx.Dấu bằng xẩy ra khi x = y =zb)Ta xét hiệu: x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz= ( x – y + z) đúng với mọi x;y;zVậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với đa số x;y;zDấu bằng xẩy ra khi x+y=zc) Ta xét hiệu: x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1= (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1Ví dụ 2: chứng minh rằng :a) ; b) c) Hãy tổng quát bài bác toánGiải:a) Ta xét hiệu = = = Vậy .Dấu bằng xẩy ra khi a=bb)Ta xét hiệu =.VậyDấu bằng xẩy ra khi a = b =cc)Tổng quátTóm lại công việc để minh chứng AB theo định nghĩaBước 1: Ta xét hiệu H = A - BBước 2:Biến thay đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+.+(E+F)Bước 3:Kết luận A ³ BVí dụ 1: chứng tỏ "m,n,p,q ta đều sở hữu : m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xảy ra khi lấy một ví dụ 2: chứng minh rằng với tất cả a, b, c ta luôn có :Giải: Ta gồm : , Đúng với tất cả a, b, c.Phương pháp 2 : sử dụng phép biến đổi tương đươngKiến thức: Ta đổi khác bất đẳng thức cần chứng tỏ tương đương cùng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức sẽ được chứng tỏ là đúng.Nếu A 1 x.y.z>1 xích míc gt x.y.z=1 nên phải xẩy ra trường hợp trên tức là có đúng một trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1Ví dụ 5: minh chứng rằng : Giải:Ta bao gồm : tương tự ta tất cả :,Cộng vế theo vế những bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : (*)Ta tất cả : tương tự : , cộng vế theo vế những bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được : (**)Từ (*) cùng (**) , ta được : (đpcm)Phư ơng pháp 3: sử dụng bất đẳng thức phụKiến thức: a) b) dấu( = ) khi x = y = 0 c) d)Ví dụ 1 đến a, b ,c là những số không âm minh chứng rằng (a+b)(b+c)(c+a)8abcGiải: cần sử dụng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc vệt “=” xảy ra khi a = b = c phương pháp 4:Bất đẳng thức Cô sy loài kiến thức: a/ Với nhì số ko âm : , ta có: . Lốt “=” xảy ra khi a=bb/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số ko âm :Dấu “=” xẩy ra khi để ý : ta cần sử dụng bất đẳng thức Côsi lúc đề cho biến hóa số không âm.Ví dụ 1 : Giải phương trình :Giải : nếu đặt t =2x thì pt biến chuyển pt bậc 6 theo t bắt buộc ta đặt khi đó phương trình gồm dạng :Vế trái của phương trình:Vậy phương trình tương đương với : .Ví dụ 2 : mang lại x, y , z > 0 cùng x + y + z = 1. Tra cứu GTLN của phường =Giải : phường = 3- () = 3 – Q. Theo BDT Côsi , trường hợp a, b, c > 0 thì Suy ra Q = -Q nên phường = 3 – Q 3-=Vậy max p. = .khi x = y = z = .Ví dụ 3: mang lại a, b, c >0 . Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta gồm :Tương từ bỏ :Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.Ví dụ 4 : CMR vào tam giác ABC : (*)Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :Cũng theo bất đẳng thức Côsi :Viết tiếp nhì BDT giống như (2) rồi nhân cùng với nhau sẽ tiến hành Từ (1),(3) suy ra (*). Lốt “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đông đảo .Ví dụ 5:Cho . Chứng minh rằng: Giải: Đặt bao gồm 2 nghiệm a,cMà:Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: phương thức 5 Bất đẳng thức BunhiacopskiKiến thức:Cho 2n số thực (): . Ta luôn có:Dấu “=” xẩy ra khi tuyệt (Quy ước : nếu chủng loại = 0 thì tử = 0 )Chứng minh:Đặt giả dụ a = 0 tốt b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng.Nếu a,b > 0:Đặt: , cố thì: phương diện khác: Suy ra: Lại có: Suy ra: Dấu”=” xảy ra Ví dụ 1 :Chứng minh rằng: , ta có: Giải: Ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lượt nữa:Ví dụ 2: mang lại tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Search GTLN của:Giải:* Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộngCho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: chũm thì: Dấu”=” xảy ra bô số (a,b,.,c) sao cho: với từng i = 1,2,,m thì sao cho: , tuyệt Ví dụ 1: Cho minh chứng rằng: Giải: ta có: vì thế theo bất đẳng thức Bunhiacopski:(đpcm)Ví dụ 2: mang lại 4 số a,b,c,d ngẫu nhiên chứng minh rằng: Giải: dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bdmà ví dụ 3: minh chứng rằng : Giải: cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski phương pháp 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta tất cả 3 Điều phải chứng tỏ Dấu bằng xảy ra khi a=b=cPhương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sépKiến thức:a)Nếu thì .Dấu ‘=’ xảy ra khi còn chỉ khib)Nếu thìDấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khiVí dụ 1: đến ABC tất cả 3 góc nhọn nội tiếp mặt đường tròn nửa đường kính R = 1 và S là diện tích s tan giác. Chứng tỏ rằng ABC là tam giác đều.Giải: Không sút tính tổng thể ta mang sư Suy ra:Áp dụng BĐT trebusep ta được:Dấu ‘=’ xảy raMặt khác:Thay (2) vào (1) ta cóDấu ‘=’ xẩy ra ABC đều. Ví dụ như 2(HS từ bỏ giải): a/Cho a,b,c>0 cùng a+b+c=1 CMR: b/Cho x,y,z>0 với x+y+z=1 CMR:x+2y+z c/Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: d)Cho x,y vừa lòng ;CMR: x+y lấy ví dụ như 3: cho a>b>c>0 với . Minh chứng rằngGiải: vì a,b,c đối xứng ,giả sử abc Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta gồm ==Vậy dấu bằng xảy ra khi a=b=c=Ví dụ 4: mang đến a,b,c,d>0 với abcd =1 .Chứng minh rằng :Giải: Ta tất cả Do abcd =1 cần cd = (dùng )Ta có (1) khía cạnh khác: = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) =VậyPhương pháp7 Bất đẳng thức BernouliKiến thức:a)Dạng nguyên thủy: cho a-1, Z thì . Vệt ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi b) Dạng mở rộng: - đến a > -1, thì . Dấu bằng xảy ra khi còn chỉ khi a = 0.- mang đến thì . Dấu bằng xảy ra khi va chỉ khi.Ví dụ 1 : chứng tỏ rằng .GiảiNếu tốt thì BĐT luôn luôn đúngNếu 0 0.Chứng minh rằng . (1)GiảiÁp dụng BĐT Bernouli: (2)Chứng minh tương tự ta đuợc: (3) (4)Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có(đpcm)Chú ý: ta có việc tổng quát mắng sau đây:“Cho chứng tỏ rằng .Dấu ‘=’ .(chứng minh tương tự bài trên).Ví dụ 3: cho . Chứng tỏ rằng .GiảiĐặt .Chứng minh tương tự:Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta đượcChú ý: việc tổng quát lác dạng này“ mang đến n số Ta luôn có:Ph ương pháp 8: Sử dụng đặc điểm bắc cầuKiến thức: A>B cùng B>C thì A>CVí dụ 1: mang lại a, b, c ,d >0 thỏa mãn nhu cầu a> c+d , b>c+d chứng tỏ rằng ab >ad+bc Giải:Tacó (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều đề xuất chứng minh)Ví dụ 2: đến a,b,c>0 thỏa mãn nhu cầu . Chứng tỏ Giải: Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 phân tách hai vế cho abc > 0 ta tất cả Ví dụ 3: cho 0 1-a-b-c-dGiải: Ta gồm (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab do a>0 , b>0 cần ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) bởi c 0 ta bao gồm (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều đề xuất chứng minh)Ví dụ 4: đến 0 0 1+ > + bmà 0 , > tự (1) và (2) 1+> +. Vậy + 0 thì từ bỏ ` lấy một ví dụ 1: mang đến a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng Giải: Theo đặc thù của tỉ lệ thành phần thức ta gồm (1) còn mặt khác : (2) từ bỏ (1) với (2) ta gồm 1 chứng tỏ rằng Giải: Ta tất cả với k = 1,2,3,,n-1 vì đó: lấy ví dụ như 2: minh chứng rằng: với n là số ng ... 1 . Ta cần chứng minh: Ta có: (Vì )Bất đẳng thức đúng cùng với n= k+1Vậy theo nguyên lý quy nạp: lấy ví dụ 5: mang lại , . Chứng tỏ rằng: Giải n=1: Bất đẳng thức luôn luôn đúngn=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta cần chứng minh: (1)Thật vậy: + Vậy (1) được triệu chứng minhVí dụ 6: đến , . Chứng tỏ rằng: Giải:n=1: Bất đẳng thức luôn đúngn=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta đề xuất chứng minh: (1)Đặt: Vậy (1) đựơc bệnh minhVí dụ 7: chứng tỏ rằng: Giải: n=2 n=k: mang sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1:Ta c ó: (vì ) Bất đẳng thức đúng cùng với n= k+1Vậy ví dụ 8: chứng minh rằng: Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn luôn đúngn=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta nên chứng minh: Ta có: Nên: Bất đẳng thức đúng cùng với n= k+1. Vậy: +Ph ương pháp 16: minh chứng phản tận mắt chứng kiến thức: 1) đưa sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy trả sử bất đẳng thức đó sai với kết phù hợp với các trả thiết nhằm suy ra điều vô lý , điều vô lý hoàn toàn có thể là điều trái với mang thiết , hoàn toàn có thể là điều trái ngược nhau .Từ kia suy ra bất đẳng thức cần minh chứng là đúng 2) đưa sử ta phải chứng tỏ luận đề “p q”Muốn minh chứng (với : đưa thiết đúng, : kết luận đúng) phép chứng tỏ được thực hiên như sau:Giả sử không có ( hoặc sai) suy ra điều vô lý hoặc sai. Vậy phải có (hay đúng)Như vậy để đậy định luận đề ta ghép toàn bộ giả thiết của luận đề với bao phủ định kết luận của nó . Ta thường được sử dụng 5 hình thức chứng minh phản triệu chứng sau : A - sử dụng mệnh đề phản đảo : “P Q” B – đậy định rôi suy trái giả thiết C – bao phủ định rồi suy trái với điều đúng D – phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau E – bao phủ định rồi suy ra kết luận :Ví dụ 1: Cho tía số a,b,c vừa lòng a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 chứng tỏ rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải: mang sử a 0 thì từ bỏ abc > 0 a 0 cho nên vì vậy a 0 cùng a 0 a(b+c) > -bc > 0 do a 0 b + c 0 tương tự như ta tất cả b > 0 , c > 0Ví dụ 2:Cho 4 số a , b , c ,d vừa lòng điều khiếu nại ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: , Giải: trả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng vào lúc đó cộng các vế ta được (1) Theo đưa thiết ta gồm 4(b+d) 2ac (2) trường đoản cú (1) cùng (2) tốt (vô lý) Vậy vào 2 bất đẳng thức và có ít nhất một những bất đẳng thức saiVí dụ 3:Cho x,y,z > 0 với xyz = 1. Chứng tỏ rằng ví như x+y+z > thì có một trong các ba số này to hơn 1 Giải :Ta gồm (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – () vị xyz = theo giả thiết x+y +z > nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dương thật vậy trường hợp cả ba số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái đưa thiết) Còn nếu như 2 vào 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) ab+bc+acGiải: Ta xét hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac= ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 +=(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 cùng a3 > 36 đề nghị a >0 )Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều đề nghị chứng minh2) chứng tỏ rằng a) b) với đa số số thực a , b, c ta bao gồm c) Giải: a) Xét hiệu: = = HH0 ta gồm điều phải chứng minh b) Vế trái rất có thể viết H = H > 0 ta gồm đpcm c) vế trái rất có thể viết H = H 0 ta bao gồm điều bắt buộc chứng minh* Dùng chuyển đổi tương đương 1) cho x > y với xy =1 .Chứng minh rằng Giải: Ta có (vì xy = 1) cho nên vì thế BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT cuối đúng bắt buộc ta tất cả điều phải chứng minh2) đến xy 1 .Chứng minh rằng Giải: Ta gồm BĐT cuối này đúng vị xy > 1 .Vậy ta bao gồm đpcm* dùng bất đẳng thức phụ1) mang đến a , b, c là các số thực và a + b +c =1 minh chứng rằng Giải: áp dụng BĐT BunhiaCôpski mang đến 3 số (1,1,1) và (a,b,c) Ta bao gồm (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) mang lại a,b,c là các số dương . Chứng minh rằng (1)Giải: (1) vận dụng BĐT phụ với x,y > 0. Ta gồm BĐT sau cùng luôn đúng Vậy (đpcm)* Dùng phương pháp bắc ước 1) mang đến 0 0 .Cminh rằng: Giải: do a ,b ,c ,d > 0 cần ta gồm (1) (2) (3) Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có : (đpcm) 2) mang đến a ,b,c là số đo cha cạnh tam giác minh chứng rằng : Giải: vị a ,b ,c là số đo cha cạnh của tam giác đề nghị ta tất cả a,b,c > 0 và a 0 và x+y+z =1 Giải: vày x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta bao gồm x+ y + z áp dụng bất đẳng thức Côsi mang đến x+y ; y+z ; x+z ta có Dấu bằng xẩy ra khi x=y=z= Vậy S . Vậy S có mức giá trị lớn nhất là khi x=y=z= lấy ví dụ như 3: mang đến xy+yz+zx = 1. Tìm giá trị bé dại nhất của Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpski mang đến 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta tất cả (1) Áp dụng BĐT Bunhiacốpski mang lại () và (1,1,1)Ta tất cả Từ (1) với (2) Vậy có giá trị nhỏ dại nhất là lúc x=y=z= ví dụ 4 : trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông làm sao có diện tích s lớn tốt nhất Giải: call cạnh huyền của tam giác là 2a Đường cao nằm trong cạnh huyền là h Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y Ta gồm S = do a ko đổi nhưng mà x+y = 2a. Vậy S lớn nhất khi x.y lớn số 1 Vậy trong những tam giác gồm cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân nặng có diện tích s lớn độc nhất 2/ cần sử dụng Bất đẳng thức nhằm giải phương trình với hệ phương trình lấy ví dụ 1:Giải phương trình: Giải : Ta bao gồm Vậy vệt ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1 Vậy khi x = -1 Vậy phương trình bao gồm nghiệm tuyệt nhất x = -1 ví dụ như 2: Giải phương trình Giải : vận dụng BĐT BunhiaCốpski ta bao gồm : lốt (=) xẩy ra khi x = 1 mặt khác dấu (=) xảy ra khi y = - Vậy khi x =1 cùng y =- Vậy nghiệm của phương trình là ví dụ như 3:Giải hệ phương trình sau: Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có Vì x+y+z = 1) phải Dấu (=) xảy ra khi x = y = z = Vậy gồm nghiệm x = y = z = lấy một ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau tự phương trình (1) tốt Từ phương trình (2) nếu x = thì y = 2 nếu x = - thì y = -2 Vậy hệ phương trình tất cả nghiệm với 3/ cần sử dụng BĐT nhằm giải phương trình nghiệm nguyên ví dụ như 1: Tìm những số nguyên x,y,z toại ý Giải:Vì x,y,z là những số nguyên đề xuất (*) Mà những số x,y,z yêu cầu tìm là lấy một ví dụ 2: kiếm tìm nghiệm nguyên dương của phương trình Giải: không mất tính bao quát ta đưa sử Ta bao gồm Mà z nguyên dương vậy z = 1. Vậy z = 1 vào phương trình ta được Theo trả sử xy buộc phải 1 = mà y nguyên dương buộc phải y = 1 hoặc y = 2 với y = 1 ko thích hợp với y = 2 ta gồm x = 2 Vậy (2 ,2,1) là 1 nghiệm của phương trình Hoán vị các số bên trên ta được các nghiệm của phương trình là (2,2,1);(2,1,2); (1,2,2)Ví dụ 3:Tìm những cặp số nguyên bằng lòng phương trình (*) Giải: (*) với x 0 , y > 0 Ta bao gồm Đặt (k nguyên dương vày x nguyên dương ) Ta bao gồm Nhưng mà giữa k và k+1 là nhì số nguyên dương liên tiếp không tồn tại một số nguyên dương nào cả Nên không có cặp số nguyên dương nào hài lòng phương trình . Vậy phương trình tất cả nghiệm tốt nhất là : bài bác tập ý kiến đề xuất :Bài 1:Chứng minh rằng với mọi a,b,c > 0 : HD : đưa vế quy đồng mẫu đem lại tổng bình phương các đẳng thức.Bài 2:Chứng minh bất đẳng thức : HD: bài bác 3: mang đến a, b. C > 0 và a + b + c 1. Cmr : HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho bài 4 : đến . Cmr :HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi mang đến , rồi cộng hai vế theo vế.Bài 5: cho a, b >1. Tìm GTNN của S = HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho và xét ngôi trường hợp dấu “=” xẩy ra .Bài 9 : kiếm tìm GTLN và GTNN của y = HD: Đặt x= bài bác 10: mang đến 36xCmr : HD: Đặt : bài bác 11: Cmr : HD : Đặt x = bài xích 12: đến . Minh chứng rằng: bài bác 13: mang đến ABC gồm a, b, c là độ dài những cạnh. Chứng tỏ rằng: bài xích 14: cho . Minh chứng rằng bài xích 15: . Chứng minh rằng: bài xích 16: bao gồm tồn lý do cho: ?Bài 17: cho ABC có diện tích bằng 4 (đơn vị diện tích). Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lược những điểm A’, B’, C’. Chứng tỏ rằng: Trong tất cả các tam giác AB’C’, A’BC’, A’B’C có ít nhất 1 diện tích nhỏ hơn hay bằng 1(đơn vị diện tích)