Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1.Ví dụ mở đầu:

Ví dụ 1: từ 1 đoạn thẳng bao gồm độ nhiều năm là a. Hãy sinh sản thành 1 tam giác có diện tích lớn nhất

Ký hiệu cha cạnh tam giác là x, y, z và phường là nửa chu vi tam giác.

Bạn đang xem: Cực trị hàm 2 biến có điều kiện

Ta đề nghị tìm tam giác có diện tích s lớn nhất. Bài toán đưa về t2im cực đại của hàm số:

*
Thông thường, phương trình f(x,y) = 0 là phương trình của con đường cong (C). Như vậy, ta chỉ đối chiếu
*
cùng với
*
lúc M vị trí (C).

Tương tự, ta cũng đều có định nghĩa cực to có điều kiện.

Cực đái có đk và cực đại có điều kiện được gọi bình thường là cực trị gồm điều kiện.

4. Các phương thức tìm rất trị tất cả điều kiện:

4.1 cách 1: Đưa về vấn đề tìm rất trị của hàm 1 biến

Nếu từ điều kiện (2) ta giải tìm được y = y(x) thì khi cầm vào hàm số

*
ta gồm z là hàm theo 1 biến đổi số x:
*
. Như vậy, việc trở về câu hỏi tìm cực trị của hàm tiên phong hàng đầu biến. —–> vượt quen thuộc!!!

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm

*
với điều kiện
*

Từ đk trên ta rút ra:

*
. Bởi vậy y khẳng định với rất nhiều x.

Thay vào hàm số ta có:

*

Đây là hàm hàng đầu biến, hàm số này khẳng định khi

*

Ta có:

*

Như vậy, hàm số không có cực trị có điều kiện vì

*
không thuộc miền xác minh của hàm số.

4.2 cách 2: cách thức Larrange:

Nếu tự pt (2) ta không giải search y theo x được. Khi đó, mang sử (2) khẳng định 1 hàm ẩn theo đổi mới x:

*
. Để vĩnh cửu hàm số ẩn, ta mang thiết
*
(*)

Như vậy: hàm số

*
, cùng với y là hàm theo x đó là hình ảnh hàm số hòa hợp của đổi thay số x thông qua biến trung gian y.

Với phần nhiều giá trị của x tạo cho z có thể có cực trị thì đạo hàm của z theo x phải triệt tiêu.

Vậy lấy đạo hàm của (1) theo biến đổi x với quy tắc hàm phù hợp (nhớ rằng y là hàm theo x) ta có:

*

Do đó, tại đều điểm cực trị ta bắt buộc có:

*
(3)

Từ đk (2), ta đem đạo hàm 2 vế theo x. Ta có:

*
(4)

Đẳng thức (4) này được vừa lòng với phần đông x, y vừa lòng phương trình (2).

Như vậy, tại đầy đủ điểm cực trị thỏa mãn nhu cầu điều kiện (2) thì sẽ vừa lòng (3) và (4)

Nhân những số hạng của (4) với hệ số chưa xác định

*
với cộng bọn chúng với các số hạng tương xứng của (3), ta được:

*

Hay:

*
(5)

Do đó, phương trình (5) cũng nghiệm đúng tại phần đông điểm cực trị thỏa điều kiện (2). Tự (5), ta lựa chọn hằng số

*
làm sao cho tại gần như điểm cực trị, hệ số của
*
đã triệt tiêu.

Nghĩa là:

*
(6)

Vì vậy, từ bỏ phương trình (5) và (6) ta có: hồ hết điểm cực trị có đk sẽ là nghiệm của hệ phương trình:

*

Bây giờ, ta xét hàm số Larrange:

*

Khi đó những điểm rất trị địa phương của hàm Larrange sẽ thỏa mãn nhu cầu hệ:

*

Từ (I) và (II) ta dấn thấy: những điểm ngừng của hàm Larrange hoàn toàn có thể là rất trị của hàm z = f(x,y) với điều kiện (2).

Như vậy, việc cực trị có điều kiện trở về câu hỏi cực trị địa phương của hàm Larrange. Ở đây

*
chỉ đóng vai trò phụ cùng sau khi tìm được giá trị
*
thì không buộc phải đến.

Xem thêm: Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng Trong Không Gian : Đường Thẳng, Mặt Phẳng

Điều khiếu nại của cực trị có điều kiện liên quan đến việc khảo sát dấu của vi phân cấp 2 của hàm Larrange trên điểm

*

*

trong đó: dx, dy chưa phải là đa số giá trị bất kỳ mà nên thỏa điều kiện:

*
trong đó:
*

Nếu

*
0 " class="latex" /> với mọi giá trị có thể có của dx, dy thì hàm z = f(x,y) đạt rất tiểu bao gồm điều kiện.