Để tính đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ thì chúng ta sử dụng bình thường một công thức:
$left(dfracuv ight)’=dfracu’.v-u.v’v^2$
Một số dạng đặc biệt quan trọng của hàm phân thức:
$ left (dfrac1x ight)’=dfrac-1x^2$; $ left (dfrac1u ight)’=dfrac-u’u^2$
Tuy nhiên cũng có thể có một số hàm phân thức bạn có thể sử dụng những công thức tính đạo hàm nhanh. Thầy đã nói ví dụ trong từng dạng bên dưới nhé.
1. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1
$y=dfracax+bcx+d$
Công thức tính nhanh đạo hàm: $y’=dfracad-bc(cx+d)^2$
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfrac2x+34x+2$ b. $y=dfrac-x-22x+5$
Hướng dẫn:
a. $y=dfrac2x+34x+2$
=> $y’=dfrac(2x+3)’.(4x+2)-(2x+3).(4x+2)’(4x+2)^2$
=> $y’=dfrac2(2x+2)-(2x+3).4(4x+2)^2$
=> $y’=dfrac8x+4-8x-12(4x+2)^2$
=> $y’=dfrac-8(4x+2)^2$
Sử dụng bí quyết tính cấp tốc đạo hàm:
$y’=dfrac2.2-3.4(4x+2)^2$ => $y’=dfrac-8(4x+2)^2$
b. $y=dfrac-x-22x+5$
=> $y’=dfrac(-x-2)’.(2x+5)-(-x-2)(2x+5)’(2x+5)^2$
=> $y’=dfrac-1.(2x+5)-(-x-2).2(2x+5)^2$
=> $y’=dfrac-2x-5+2x+4(2x+5)^2$
=> $y’=dfrac-1(2x+5)^2$
Sử dụng bí quyết nhanh tính đạo hàm:
$y= dfrac-x-22x+5$ => $y’=dfrac(-1).5-(-2).2(2x+5)^2=dfrac-5+4(2x+5)^2=dfrac-1(2x+5)^2$
2. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1
$y=dfracax^2+bx+cdx+e$
Công thức tính nhanh đạo hàm:$y=dfracadx^2+2aex+be-cd(dx+e)^2$
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfracx^2+2x+34x+5$b. $y=dfrac2x^2+3x-4-5x+6$
Hướng dẫn:
a. $y’=dfrac(x^2+2x+3)’.(4x+5)-(x^2+2x+3)(4x+5)’(4x+5)^2$
=> $y’=dfrac(2x+2).(4x+5)-(x^2+2x+3).4(4x+5)^2$
=> $y’=dfrac8x^2+18x+10-4x^2-8x-12(4x+5)^2$
=> $y’=dfrac4x^2+10x-2(4x+5)^2$
Sử dụng phương pháp giải nhanh đạo hàm:
$y’=dfrac1.4x^2+2.1.5x+2.5-3.4(4x+5)^2=dfrac4x^2+10x-2(4x+5)^2$
b. $y’=dfrac(2x^2+3x-4)’.(-5x+6)-(2x^2+3x-4).(-5x+6)’(-5x+6)^2$
=> $y’=dfrac(4x+3).(-5x+6)-(2x^2+3x-4).(-5)(-5x+6)^2$
=> $y’=dfrac-20x^2+9x+18-(-10x^2-15x+20)(-5x+6)^2$
=> $y’=dfrac-20x^2+9x+18+10x^2+15x-20)(-5x+6)^2$
=> $y’=dfrac-10x^2+24x-2(-5x+6)^2$
Sử dụng công thức tính nhanh đạo hàm:
$y’=dfrac2.(-5)x^2+2.2.6x+3.6-(-4)(-5)(-5x+6)^2=dfrac-10x^2+24x-2(-5x+6)^2$
3. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2
$y=dfraca_1x^2+b_1x+c_1a_2x^2+b_2x+c_2$
Công thức tính cấp tốc đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2
=> $y’=dfrac(a_1b_2-a_2b_1)x^2+2(a_1c_2-a_2c_1)x+b_1c_2-b_2c_1(a_2x^2+b_2x+c_2)^2$
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfracx^2+x-2-x^2+3x+2$
Ta có:
$y’=dfrac(x^2+x-2)’.(-x^2+3x+2)-(x^2+x-2).(-x^2+3x+2)’(-x^2+3x+2)^2$
=> $y’=dfrac(2x+1).(-x^2+3x+2)-(x^2+x-2).(-2x+3)(-x^2+3x+2)^2$
=> $y’=dfrac-2x^3+6x^2+4x-x^2+3x+2+2x^3-3x^2+2x^2-3x-4x+6(-x^2+3x+2)^2$
=> $y’=dfrac4x^2+8(-x^2+3x+2)^2$
Sử dụng cách làm tính cấp tốc đạo hàm:
$y’=dfrac<1.3-1.(-1)>x^2+2<1.2-(-2)(-1)>x+<1.2-(-2).3> (-x^2+3x+2)^2 $
=> $y’=dfrac4x^2+8(-x^2+3x+2)^2$
4. Một vài trường hợp quan trọng khi tính đạo hàm của hàm phân thức
Ví dụ 4: Tính đạo hàm các hàm số sau:a. $y=dfrac2x^2-2x+3$b. $y=left(dfracx+23x-1 ight)^3$
Hướng dẫn:
a. $y’=dfrac-2.(x^2-2x+3)’(x^2-2x+3)^2=dfrac-2(2x-2)(x^2-2x+3)^2$
b. $y’=3.left(dfracx+23x-1 ight)^2left(dfracx+23x-1 ight)’= 3.left(dfracx+23x-1 ight)^2.dfrac-7(3x-1)^2 $
(ý này các bạn áp dụng cách làm đạo hàm $u^alpha=alpha.u^alpha-1.u’$ nhé)
Bài giảng bên trên cũng khá cụ thể và rất đầy đủ về các dạng toán tính đạo hàm của một vài hàm phân thức hữu tỉ.
Bạn đang xem: Đạo hàm bậc nhất
Xem thêm: Top 10 Vũ Khí Công Nghệ Cao, Khái Niệm Đặc Điểm Của Vũ Khí Công Nghệ Cao
Nói chúng để tính được đạo hàm dạng này thì chúng ta chỉ cần áp dụng chung tuyệt nhất một công thức $(dfracuv)’$ là có thể tính dễ chịu rồi. Nếu các bạn có thêm cách làm tính nào tốt thì hãy share dưới khung bình luận nhé.