Tổng hợp kiến thức và kỹ năng cần rứa vững, các dạng bài xích tập và câu hỏi có kĩ năng xuất hiện nay trong đề thi HK2 Toán học tập 11 sắp tới tới


Phần 1

GIỚI HẠN

I. GIỚI HẠN DÃY SỐ

1. Hàng số có số lượng giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Ta nói dãy số (left( u_n ight)) có số lượng giới hạn là số thực (L) nếu như (mathop lim limits_n o + infty left( u_n - L ight) = 0).

Bạn đang xem: Đề cương toán 11 học kì 2

Khi đó, ta viết: (mathop lim limits_n o + infty left( u_n ight) = L), viết tắt là (lim left( u_n ight) = L) hoặc (lim u_n = L).

Định lý 1: Giả sử (lim u_n = L). Lúc đó:

i) (lim left| u_n ight| = left| L ight|) với (lim sqrt<3>u_n = sqrt<3>L).

ii) nếu (u_n ge 0) với đa số (n) thì (L ge 0) với (lim sqrt u_n = sqrt L )

Định lý 2: Giả sử (lim u_n = L,lim v_n = M) và (c) là một hằng số. Lúc đó:

i) các dãy số (left( u_n + v_n ight),left( u_n - v_n ight),left( u_n.v_n ight)) cùng (left( c.u_n ight)) có giới hạn là:

+) (lim left( u_n + v_n ight) = L + M)

+) (lim left( u_n - v_n ight) = L - M)

+) (lim left( u_n.v_n ight) = L.M)

+) (lim left( c.u_n ight) = c.L)

ii) nếu (M e 0) thì hàng số (left( fracu_nv_n ight)) có số lượng giới hạn là (lim fracu_nv_n = fracLM).

Một số dãy số có giới hạn thường gặp:

+) (lim frac1n = 0,lim frac1sqrt n = 0,lim frac1sqrt<3>n = 0,...)

+) giả dụ (left| q ight| Chú ý: Định lý trên vẫn chuẩn cho trường hòa hợp (x o x_0^ + ,x o x_0^ - ,)(x o + infty ,x o - infty )

2. Định lí về số lượng giới hạn một bên

()(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = L)( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0^ - f(x) = mathop lim limits_x o x_0^ + f(x) = L)

3. Các nguyên tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số

+) trường hợp (mathop lim limits_x o x_0 left| fleft( x ight) ight| = + infty )thì (mathop lim limits_x o x_0 frac1fleft( x ight) = 0)

+ Bảng quy tắc

*

*

4. Tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn: (S = fracu_11 - q,|q| ­0 thì (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = f(x_0))

3. (mathop lim limits_x o pm infty frac1x^n = 0) (với n > 0)

III. HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) khẳng định trên khoảng chừng K với (x_0 in K).

Hàm số y = f(x) được call là tiếp tục tại (x_0) trường hợp (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = fleft( x_0 ight)).

2. Một số định lý cơ bản

ĐL 1:

- Hàm số nhiều thức liên tục trên R.

- Hàm phân thức hữu tỉ và những hàm lượng giác thường xuyên trên từng khoảng của tập xác minh của chúng.

ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, thương của nhị hàm số tiếp tục tại (x_0) là rất nhiều hàm số liên tục tại (x_0) (trường hợp thương thì mẫu cần khác 0 tại (x_0)).

ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) thường xuyên trên (left< a;b ight>) cùng f(a).f(b) Phương pháp:

- Sử dụng các quy tắc sẽ học nhằm tính.

- Nếu giới hạn của hàm số buộc phải tính có một trong các bốn dạng (frac00); (fracinfty infty ); (infty - infty ); 0.∞ thì ta đề xuất khử dạng đó, bởi cách phân tích tử và mẫu mã thành nhân tử rồi giản cầu hoặc nhân lượng phối hợp hoặc phân chia cả tử cùng mẫu mang lại xk với k là mũ tối đa của tử hoặc mẫu...Cụ thể:

* Dạng (frac00):

- nếu như tử, mẫu là rất nhiều đa thức thì ta đặt thừa số (left( x - x_0 ight)) có tác dụng nhân tử tầm thường và rút gọn gàng nhân tử này ta sẽ chuyển được giới hạn về dạng xác định.

- nếu tử giỏi mẫu gồm chứa căn thức thì nhân tử và mẫu với lượng phối hợp của tử hoặc mẫu và cũng rút gọn thừa số (left( x - x_0 ight))ở tử và chủng loại ta sẽ đưa được giới hạn về dạng xác định.

Cần chăm chú các công thức chuyển đổi sau:

(eginarrayla pm b = fraca^2 - b^2a mp b\a pm b = fraca^3 pm b^3a^2 mp ab + b^2endarray)

+ trường hợp PT f(x) = 0 bao gồm nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)

+ liên hợp của biểu thức:

1.(sqrt a - sqrt b ) là (sqrt a + sqrt b )

2. (sqrt a + sqrt b ) là (sqrt a - sqrt b )

3.(sqrt<3>a - b) là (sqrt<3>a^2 + sqrt<3>a.b + b^2)

4. (sqrt<3>a + b) là (sqrt<3>a^2 - sqrt<3>a.b + b^2)

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau: 

a) (mathop mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2limits_ )

b) (mathop mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1limits_ )

Giải:

(eginarrayla),,,mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x^2 - 4 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x - 2 ight)left( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2 = frac4.84 = 8endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2 = 8.)

(eginarraylb),,,mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1\ = mathop lim limits_x o 1 frac4 - left( 3x + 1 ight)left( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac3 - 3xleft( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - 3left( x - 1 ight)left( x - 1 ight)left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - 3left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = frac - 3left( 1 + 1 ight)left( 2 + sqrt 3.1 + 1 ight) = - frac38endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1 = - frac38.)

* Dạng (fracinfty infty ):

- phân tách cả tử với mẫu mang đến xk với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu.

- kế tiếp dùng các định lý về số lượng giới hạn của tổng, hiệu, tích cùng thương cùng giới hạn (mathop lim limits_x o pm infty frac1x^k = 0) với k nguyên dương.

Ví dụ:Tìm các giới hạn sau: 

a) (mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4)

b) (mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3)

Giải:

(eginarrayla),,mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4\ = mathop lim limits_x o + infty frac3 - frac16x^3 + frac2x^41 - frac2x^2 + frac4x^4\ = frac3 - 0 + 01 - 0 + 0 = 3endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4 = 3).

(eginarraylb),,,mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3\ = mathop lim limits_x o - infty fracfrac1x - frac5x^2 + frac1x^3frac10x^3 - 2\ = frac0 - 0 + 00 - 2 = 0endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3 = 0)

* Dạng (infty - infty ):

- nếu (x o x_0) thì ta quy đồng mẫu số để đưa về dạng (frac00).

- Nếu (x o pm infty ) thì ta nhân và phân chia với lượng liên hợp để lấy về dạng (fracinfty infty ).

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) (mathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight))

b) (mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight))

Giải:

a) Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 left( frac1 + x + x^2 - 31 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 left( fracx^2 + x - 21 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x - 1 ight)left( x + 2 ight)left( 1 - x ight)left( 1 + x + x^2 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - x - 21 + x + x^2 = - 1endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight) = - 1)

b) Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight)\ = mathop lim limits_x o + infty fracleft( 4x^2 + 3x + 1 ight) - 4x^2sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lim limits_x o + infty frac3x + 1sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lim limits_x o + infty frac3 + frac1xsqrt 4 + frac3x + frac1x^2 + 2\ = frac32 + 2 = frac34endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight) = frac34).

* Dạng 0.∞

- Để khử dạng này thì ta cần tiến hành một số biến đổi như đưa thừa số vào trong dấu căn, quy đồng mẫu số,...ta có thể đưa số lượng giới hạn đã đến về dạng quen thuộc.

Ví dụ: Tìm số lượng giới hạn sau: (mathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 ).

Giải: Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)left( x - 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)^2left( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = 3.0 = 0endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 = 0).

2. Dạng 2: Tính tổng của CSN lùi vô hạn

- thực hiện công thức: (S = fracu_11 - q,|q| Ví dụ: Tính tổng (S = - 1 + frac110 - frac110^2 + ... + fracleft( - 1 ight)10^n - 1^n + ...)

Giải:

Đây là tổng của CSN lùi vô hạn với (u_1 = - 1) cùng q = ( - frac110).

Xem thêm: Bài Tập Reported Speech Có Đáp Án Tiếp, Các Dạng Câu Tường Thuật Đặc Biệt

Vậy (S = frac - 11 - left( - frac110 ight) = - frac1011).

3. Dạng 3: Xét tính liên tục của hàm số

3.1 Xét tính tiếp tục của hàm số tại điểm:

- Dạng I: đến h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx e x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&khieginarray*20cx = x_0&endarrayendarrayendarray ight.)

Xét tính thường xuyên của h/s tại điểm x0?

Phương pháp chung:

B1: tra cứu TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop lim limits_x o x_0 f(x))

B3: (mathop lim limits_x o x_0 f(x)) = f(x0) ( Rightarrow ) KL liên tục tại x0

- Dạng II: mang đến h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx ge x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&{khieginarray*20cx 0?

3.2 Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

Phương pháp chung:

B1: Xét tính tiếp tục của h/s trên những khoảng đơn

B2: Xét tính thường xuyên của h/s tại những điểm giao

B3: Kết luận

3.3 Tìm đk của tham số nhằm hàm số thường xuyên tại x0

Phương pháp chung:

B1: tìm kiếm TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop lim limits_x o x_0 f(x))

B3: Hàm số tiếp tục tại (x_0) ( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0 f(x) = fleft( x_0 ight))

3.4 Sử dụng tính liên tiếp của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT bao gồm nghiệm bên trên (left< a;b ight>):

B1: Tính f(a), f(b) Þ f(a).f(b) 2: soát sổ tính thường xuyên của hàm số f(x) trên (left< a;b ight>)

B3: tóm lại về số nghiệm của PT trên (left< a;b ight>)

Ví dụ: CMR phương trình (x^7 + 3x^5 - 2 = 0) có tối thiểu một nghiệm

Xét hàm số (fleft( x ight) = x^7 + 3x^5 - 2) tiếp tục trên R nên f(x) liên tiếp trên <0;1>

Và (left. eginarray*20cfleft( 0 ight) = - 2 0endarray ight Rightarrow fleft( 0 ight).fleft( 1 ight)