Nội dung bài học để giúp đỡ các em vậy được các khái niệm vectơ trong ko gian, vectơ chỉ phương của mặt đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng trong không gian và khái niệm hai tuyến phố thẳng vuông góc. Dường như là những ví dụ minh họa sẽ giúp đỡ các em ra đời các năng lực giải bài xích tập tương quan đến tính góc, chứng minh hai mặt đường thẳng vuông góc bởi vectơ.

Bạn đang xem: Đường thẳng vuông góc


1. Tóm tắt lý thuyết

1.1.Góc giữa haivectơ

1.2. Tích vô vị trí hướng của hai vectơ

1.3. Vectơ chỉ phương của con đường thẳng

1.4. Góc giữa hai tuyến đường thẳng

1.5. Hai tuyến phố thẳng vuông góc

2. Bài xích tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 2 chương 3 hình học tập 11

3.1 Trắc nghiệm vềHai đường thẳng vuông góc

3.2 bài xích tập SGK và nâng cao vềHai đường thẳng vuông góc

4.Hỏi đáp vềbài 2 chương 3 hình học tập 11


Cho (vec u)và (vec v)là hai vectơ trong không gian. Xuất phát từ 1 điểm A bất cứ vẽ (overrightarrow AB = overrightarrow u ,overrightarrow AC = overrightarrow v). Khi ấy ta điện thoại tư vấn góc (widehat BAC(0 le widehat BAC le 180^0))là góc thân hai vecto vectơ (vec u)và(vec v), kí hiệu là (left ( vec u ;vec v ight )). Ta có:(left ( vec u ;vec v ight )=widehat BAC).

*


a) Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô vị trí hướng của hai vectơ(vec u)và(vec v)đều không giống vectơ-không là một trong những được kí hiệu là (vec u .vec v)xác dịnh bởi:

(overrightarrow u .overrightarrow v = left| overrightarrow u ight|.left| overrightarrow v ight|.c mos(overrightarrow mu .overrightarrow v ))

Nếu (vec u= vec0)hoặc (vec v= vec0)thì ta quy ước(vec u.vec v=0.)

b) Tính chấttích vô hướng của hai vectơ

Với bố vectơ(overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c)trong không khí và với tất cả số k ta có:

(overrightarrow a .overrightarrow b = overrightarrow b .overrightarrow a)(tính hóa học giao hoán).(overrightarrow a (overrightarrow b + overrightarrow c ) = overrightarrow a .overrightarrow b + overrightarrow a .overrightarrow c)(tính hóa học phân phối).((k.overrightarrow a ).overrightarrow b = k.(overrightarrow a .overrightarrow b ) = overrightarrow a .koverrightarrow b .)(overrightarrow a ^2 ge 0,overrightarrow a ^2 = 0 Leftrightarrow overrightarrow a = overrightarrow 0.)c) Ứng dụng của tích vô hướng

Xác định góc thân hai vectơ(vec u)và(vec v)bằng (c mos(overrightarrow mu .overrightarrow v ))theo công thức:(c mos(overrightarrow mu .overrightarrow v ) = fracoverrightarrow u .overrightarrow v overrightarrow u ight).


1.3. Vectơ chỉ phương của mặt đường thẳng


Vectơ (overrightarrow a e overrightarrow 0)được call là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ(overrightarrow a)song tuy vậy hoặc trùng với con đường thẳng d.

*

Nếu (overrightarrow a)là vectơ chỉ phương của mặt đường thẳng d thì vectơ (koverrightarrow a)với (k e 0)cũng là 1 vectơ chỉ phương của d.

Một mặt đường thẳng d trong ko gian hoàn toàn xác định được nếu như biết một điểm A trực thuộc d với một vectơ chỉ phương (overrightarrow a)của d.


1.4. Góc giữa hai tuyến phố thẳng


Góc giữa hai tuyến đường thẳng a với b trong không gian là góc giữa hai tuyến đường thẳng a’ và b’ thuộc đi qua 1 điểm bất kì lần lượt tuy vậy song cùng với a với b.

*


1.5. Hai đường thẳng vuông góc


a) Định nghĩa

Hai con đường thẳng a và b điện thoại tư vấn là vuông góc cùng với nhau trường hợp góc giữa chúng bằng 900. Ta kí hiệu là:(b ot a)hoặc(a ot b.)

b) Tính chấtNếu(vec u)và(vec v)lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a cùng b thì:(a ot b Leftrightarrow overrightarrow u .overrightarrow v = 0.)Cho hai tuyến phố thẳng tuy nhiên song. Nếu một mặt đường thẳng vuông góc với con đường thẳng này thì cũng vuông góc với mặt đường thẳng kia.Hai con đường thẳng vuông góc nhau thì rất có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác minh góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a)(overrightarrow AB ,overrightarrow EG .)

c)(overrightarrow AB ,overrightarrow DH).

Hướng dẫn giải:

*

a) bởi EG // AC bắt buộc góc giữa(overrightarrow AB ,overrightarrow EG)cũng bằng góc giữa(overrightarrow AB)và(overrightarrow AC)

Vậy(left( overrightarrow AB ;overrightarrow EG ight) = left( overrightarrow AB ;overrightarrow AC ight) = 45^0.)

b) vày AB // DG phải góc giữa(overrightarrow AB ,overrightarrow DH)cũng bằng góc giữa(overrightarrow DC)và(overrightarrow DH)

Vậy(left( overrightarrow AB ;overrightarrow DH ight) = left( overrightarrow AB ;overrightarrow DH ight) = 45^0.)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp tam giác S.ABC tất cả SA = SB =SC và có (widehat mASB = widehat BSC = widehat CSA.)

Chứng minh rằng:(SA ot BC, SBot AC, SC ot AB.)

Hướng dẫn giải:

Xét các tích vô hướng:(overrightarrow SA .overrightarrow BC ,overrightarrow SB .overrightarrow AC ,overrightarrow SC .overrightarrow AB .)

Ta có:

(eginarrayl overrightarrow SA .overrightarrow BC = overrightarrow SA .(overrightarrow SC - overrightarrow SB ) = overrightarrow SA .overrightarrow SC - overrightarrow SA .overrightarrow SB \ = left| overrightarrow SA ight|.left| overrightarrow SC ight|.c moswidehat mCSA - left| overrightarrow SA ight|.left| overrightarrow SB ight|c moswidehat mASB endarray)

Theo giá bán thuyết:(left| overrightarrow SB ight| = left| overrightarrow SC ight|)

Và:(c moswidehat mCSA = c moswidehat mASB Rightarrow overrightarrow SA .overrightarrow BC = 0)

Vậy:(SA ot BC.)

Chứng minh giống như ta có:(SBot AC, SC ot AB.)

Ví dụ 3:

Cho tứ diện ABCD gồm AB⊥AC và AB⊥BD. Gọi p. Và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng tỏ rằng AB và PQ là hai tuyến đường thẳng vuông góc cùng với nhau.

Lời giải:

*

Ta có: (overrightarrow PQ = overrightarrow PA + overrightarrow AC + overrightarrow CQ)

Và: (overrightarrow PQ = overrightarrow PB + overrightarrow BD + overrightarrow DQ)

Do đó: (2overrightarrow PQ = overrightarrow AC + overrightarrow BD)

Vậy:(2.overrightarrow PQ .overrightarrow AB = left( overrightarrow AC + overrightarrow BD ight).overrightarrow AB = overrightarrow AC .overrightarrow AB + overrightarrow BD .overrightarrow AB = 0)

Hay (overrightarrow PQ .overrightarrow AB = 0)Tức là: (PQ ot AB.)

Ví dụ 4:

Cho tứ diện ABCD bao gồm AB=AC=AD=a, (widehat BAC = widehat BAD = 60^0.).

a) minh chứng rằng AB vuông góc CD.

b) ví như I, J thứu tự là trung điểm của AB và CD thì (AB ot IJ.)

Hướng dẫn giải:

*

a) Ta có:

(eginarrayl overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AB left( overrightarrow AD - overrightarrow AC ight) = overrightarrow AB .overrightarrow AD - overrightarrow AB .overrightarrow AC \ = left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AD ight|.cos BAD - left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AC ight|.cos BAC endarray)

Mặt không giống ta có:(AB = AC = AD,widehat BAC = widehat BAD)

Nên:(overrightarrow AB .overrightarrow AC = left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AD ight|.cos BAD - left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AC ight|.cos BAC = 0)

Vậy AB vuông góc với CD.

b)) bởi I, J là trung điểm của AB với CD đề nghị ta có:(overrightarrow IJ = frac12left( overrightarrow AD + overrightarrow BC ight))

Do đó:

(eginarrayl overrightarrow AB .overrightarrow IJ = frac12left( overrightarrow AB .overrightarrow AD + overrightarrow AB overrightarrow BC ight) = frac12left( overrightarrow AB .overrightarrow AD + overrightarrow AB overrightarrow BA + overrightarrow AB .overrightarrow AC ight)\ = frac12left( cos 60^0 - overrightarrow AB ^2 + left ight)\ = frac12left( frac12a^2 - a^2 + frac12a^2 ight) = 0 endarray)

Vậy AB cùng IJ vuông góc nhau.


Câu 3:

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu(overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AC .overrightarrow AD = overrightarrow AD .overrightarrow AB )thì(AB ot CD,AC ot BD,AD ot BC). Điều trái lại có đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1:(overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AC .overrightarrow AD Leftrightarrow overrightarrow AC left( overrightarrow AB - overrightarrow AD ight) = 0)

( Leftrightarrow overrightarrow AC .overrightarrow DB = 0 Leftrightarrow AC ot BD)

Bước 2: chứng tỏ tương tự, từ(overrightarrow AC .overrightarrow AD = overrightarrow AD .overrightarrow AB ) ta được(AD ot BC)

và(overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AD .overrightarrow AB ) ta được(AB ot CD)

Bước 3: ngược lại đúng, do quá trình minh chứng ở bước 1 và 2 là vượt trình chuyển đổi tương đương.

Bài giải trên đúng hay sai, nếu sai thì sai ở đâu?


Bên cạnh đó các em có thể xem phần lý giải Giải bài bác tập Hình học tập 11 bài 2sẽ giúp các em cụ được các phương pháp giải bài bác tập từ bỏ SGKhình học tập 11Cơ phiên bản và Nâng cao.

Xem thêm: Mathx Lớp 4 - Thích Học Toán

bài tập 1 trang 97 SGK Hình học tập 11

bài xích tập 2 trang 97 SGK Hình học 11

bài bác tập 3 trang 97 SGK Hình học 11

bài tập 4 trang 98 SGK Hình học 11

bài tập 5 trang 98 SGK Hình học tập 11

bài bác tập 6 trang 98 SGK Hình học tập 11

bài bác tập 7 trang 98 SGK Hình học tập 11

bài xích tập 8 trang 98 SGK Hình học 11

bài xích tập 3.8 trang 138 SBT Hình học tập 11

bài bác tập 3.9 trang 138 SBT Hình học 11

bài bác tập 3.10 trang 138 SBT Hình học tập 11

bài tập 3.11 trang 139 SBT Hình học tập 11

bài bác tập 3.12 trang 139 SBT Hình học tập 11

bài xích tập 3.13 trang 139 SBT Hình học tập 11

bài xích tập 3.14 trang 139 SBT Hình học tập 11

bài tập 3.15 trang 139 SBT Hình học tập 11

bài tập 7 trang 95 SGK Hình học tập 11 NC

bài xích tập 8 trang 95 SGK Hình học tập 11 NC

bài bác tập 9 trang 96 SGK Hình học tập 11 NC

bài bác tập 10 trang 96 SGK Hình học tập 11 NC

bài bác tập 11 trang 96 SGK Hình học tập 11 NC


4. Hỏi đáp về bài bác 2 chương 3 hình học tập 11


Nếu có thắc mắc cần giải đáp những em có thể để lại câu hỏi trong phầnHỏiđáp, xã hội Toán HỌC247 đã sớm trả lời cho các em.