Căn thức (căn bậc 2, căn bậc 3) là nội dung kỹ năng mà những em học tập ở tức thì chương 1 đại số lớp 9, phần bài tập về căn thức cũng thường xuyên xuất hiện thêm trong đề thi tuyển chọn sinh vào lớp 10 THPT.

Bạn đang xem: Giải phương trình chứa căn


Có các dạng bài bác tập về căn thức như: rút gọn biểu thức, tính quý giá của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,... Mặc dù nhiên, trong nội dung bài viết này bọn họ tập trung tìm hiểu cách giải phương trình chứa dấu căn, qua đó vận dụng giải một vài bài tập về phương trình đựng căn thức nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán.

I. Kỹ năng và kiến thức cần nhớ lúc giải phương trình đựng dấu căn

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*
 với e ≥ 0 là hằng số

i) ngôi trường hợp: 

*
 hoặc 
*
 thì:

+ bước 1: Tìm đk của x nhằm f(x) ≥ 0

+ bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn.

+ bước 3: Giải phương trình nhằm tìm nghiệm x vừa lòng điều kiện

* ví dụ 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x?

a) b) 

c) d)

° Lời giải:

a) (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, lúc đó bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 4 thỏa đk nên pt tất cả nghiệm x = 4.

b)  (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi ấy bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 5/4 thỏa đk nên pt bao gồm nghiệm x = 5/4.

c) (*)

- Điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; khi đó ta gồm (ở bày này ta có thể rút gọn hệ số trước khi bình phương 2 vế):

 

*

 

*
 
*

- Ta thấy x = 50 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 50.

d) (*)

- bởi (1 - x)2 ≥ 0 ∀x cần pt xác định với phần lớn giá trị của x.

 

*

*

→ Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* ví dụ như 2: Giải những phương trình sau:

a)  b) 

*

° Lời giải:

a)  (*)

- Điều kiện: 

*

- khi đó bình phương 2 vế ta được:

*
 
*

- Đối chiếu đk (x ≥ 3/2) ta thấy x = 50% không thỏa đk này, đề nghị ta KHÔNG nhận nghiệm này. Kết luận pt vô nghiệm.

ii) trường hợp:  (*) thì ta nên kiểm tra biểu thức f(x).

+) trường hợp f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 có nghĩa là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

 

*
*

+) Nếu  không bao gồm dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện công việc sau:

- bước 1: Điều khiếu nại f(x) ≥ 0

- cách 2: Bình phương 2 vế phương trình nhằm khử căn thức

- cách 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng phương pháp phân tích thành nhân tử mang đến pt tích).

* ví dụ 1: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Vì: 2x2 - 8x + 8 = 2(x2 - 4x + 4) = 2(x - 2)2 nên ta có:

 

*

 

*
 
*

* lấy ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: x2 - 4x + 6 = x2 - 4x + 4 + 2 = (x - 2)2 + 2 không có dạng (Ax ± B)2 nên ta triển khai như sau:

- Điều kiện: x2 - 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x - 2)2 + 2 ≥ 0 ∀x phải biểu thức khẳng định với đầy đủ giá trị của x.

- Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x - 2)2 + 2 = 11 ⇔ (x - 2)2 = 9 

*

- Kết luận: Phương trình bao gồm 2 nghiệm x = -1 và x = 5.

2. Giải phương trình cất dấu căn dạng: 

*

* phương thức giải:

- bước 1: Viết đk của phương trình: 

*

- bước 2: thừa nhận dạng từng loại khớp ứng với những cách giải sau:

 ¤ một số loại 1: ví như f(x) có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 thì khai căn đem đến phương trình trị hoàn hảo nhất để giải.

 ¤ loại 2: nếu như f(x) = Ax ± B và g(x) = Ex ± D thì sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ nhiều loại 3: nếu như f(x) = Ax2 + Bx + C cùng g(x) = Ex ± D thì sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ một số loại 4: trường hợp f(x) = Ax2 + Bx + C và g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử so sánh f(x) cùng g(x) thành nhân tử, nếu chúng có nhân tử bình thường thì đặt nhân tử chung đem lại phương trình tích.

- bước 3: bình chọn nghiệm kiếm được có vừa lòng điều khiếu nại không tiếp đến kết luận nghiệm của phương trình.

* ví dụ 1: Giải phương trình sau:

° Lời giải:

- Ta có:  

 

*

 

*

- Vậy phương trình vô nghiệm

* lấy một ví dụ 2: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta có: 

 

*

- Vậy phương trình tất cả vô số nghiệm x ≤ 3.

* lấy ví dụ như 3: Giải phương trình sau:

*
 

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

- Bình phương 2 vế ta được:

 2x - 3 = (x - 1)2 ⇔ 2x - 3 = x2 - 2x + 1

 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2.

- Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 2 thỏa đk nên phương trình nhận nghiệm này.

- Phương trình gồm nghiệm x = 2.

* lấy một ví dụ 4: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: f(x) = x2 - 5x - 6 không tồn tại dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 (và vế buộc phải là dạng hàm bậc 1) buộc phải để khử căn ta dùng phương pháp bình phương 2 vế.

- Điều kiện: 

*
 khi kia ta bình phương 2 vế được:

*

*

- đánh giá x = -10 có thỏa mãn điều khiếu nại không bằng phương pháp thay cực hiếm này vào các biểu thức đk thấy không thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Giải phương trình cất dấu căn dạng: 

*
 

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện quá trình sau:

- bước 1: Nếu f(x) với h(x) gồm chứa căn thì đề xuất có điều kiện biểu thức trong căn ≥ 0.

- bước 2: Khử căn thức gửi phương trình về dạng pt trị hay đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

- cách 3: Xét vết trị tuyệt đối hoàn hảo (khử trị xuất xắc đối) nhằm giải phương trình.

* ví dụ như 1: Giải phương trình: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0.

- phương diện khác, ta thấy: 

*
 và 
*
 nên ta có:

 

*
 (**)

- Ta xét các trường hợp để phá lốt trị xuất xắc đối:

+) TH1: Nếu 

*
, ta có:

 

*

⇒ Phương trình tất cả vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 1

- thừa nhận thấy: 

*

*

- Đến trên đây xét các trường thích hợp giải tương tự như ví dụ 1 sinh hoạt trên.

4. Giải pháp giải một số phương trình đựng căn khác.

i) cách thức đặt ẩn phụ nhằm giải phương trình cất dấu căn.

* lấy ví dụ như 1: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

 Đặt

*
 khi kia ta tất cả pt (*) trở thành:

 

*

- cả hai nghiệm t phần lớn thỏa đk nên ta có:

 

*

 

*

(Cách giải pt bậc 2 một ẩn các em đang học ở nội dung bài chương sau).

* ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

 Đặt 

*
, lúc đó pt(*) trở thành:

 

*

- Ta thấy pt(**) tất cả dạng sống mục 2) các loại 3; với điều kiện 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

 t2 + 5 = (5 - t)2 ⇔ t2 + 5 = t2 - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

- cùng với t = 2 thỏa đk 0≤ t ≤ 5 đề nghị ta có:

*

→ Phương trình bao gồm nghiệm x = 6.

* lấy ví dụ như 3: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x2 - 2x - 3 ≥ 0. Khi đó ta có:

*

 Đặt 

*
 khi đó pt(**) trở thành:

 

*

- Đối chiếu điều kiện thì t = -5 các loại và t = 2 nhận.

 Với t = 2 ⇒ x2 - 2x - 3 = 4 ⇔ x2 - 2x - 7 = 0 ⇔ (x2 - 2x + 1) - 8 = 0.

 

*

- đánh giá thấy 2 nghiệm x bên trên thỏa đk nên pt có 2 nghiệm. X = 1 ± 2√2.

Xem thêm: Công Thức Toán Đại 12 - Tổng Hợp Công Thức Phần Đại Số

ii) phương thức đánh giá chỉ biểu thức dưới lốt căn (lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1 hằng số) nhằm giải phương trình chứa căn thức.

- Áp dụng với phương trình chứa căn thức dạng: 

*
 (với c,d>0 cùng c+d=e)

- PT rất có thể cho tức thì dạng này hoặc có thể tách một hệ số nào đó để sở hữu 2; 2 hay 2;