BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng Mục tiêuTrên cơ sở những kiến thức của công tác phổ thông, mục đích của bài bác này là ôn tập, khối hệ thống hóa và nâng cấp các kiến thức và kỹ năng về hàm số một đổi thay số: Giới hạn, tính liên tục của hàm số. Hướng dẫn học • Đây là bài bác học nhằm mục tiêu ôn tập và khối hệ thống hóa lại những kiến thức toán học vẫn học trong chương trình thêm nên bạn cần đọc kỹ lại các triết lý về hàm số….

Đang xem: các công thức tính giới hạn trong toán cao cấp

*

bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng phương châm • phát âm được tư tưởng hàm số, giới hạn, sựBạn phải học với làm bài xích tập của bài nàytrong nhì tuần, mỗi tuần khoảng chừng 3 mang đến 4 liên tụcgiờ đồng hồ. • Giải được các bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tiếp • Áp dụng ứng dụng toán để giám sát với hàm số, giới hạnNội dungTrên cơ sở các kiến thức của lịch trình phổ thông, mục tiêu của bài này là ôn tập, hệ thốnghóa và nâng cấp các kỹ năng về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tiếp củahàm số.Hướng dẫn học• Đây là bài xích học nhằm mục đích ôn tập và hệ thống hóa lại các kiến thức toán học sẽ học vào chương trình diện tích lớn nên bạn cần đọc kỹ lại các định hướng về hàm số, giới hạn.• sau khi đọc kỹ kim chỉ nan bạn nên làm bài tập càng những càng giỏi để củng nắm và nâng cấp kiến thức. 1 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và liên tục1.1. Hàm số một biến hóa số1.1.1. Định nghĩa hàm số một đổi thay số mang đến X là tập hòa hợp khác trống rỗng của R . Ta điện thoại tư vấn ánh xạ f :X → R y = f (x) x là hàm số một biến hóa số bên trên tập hợp X , trong các số ấy x là thay đổi số độc lập, y là đại lượng dựa vào hay hàm số của x . Tập thích hợp X điện thoại tư vấn là miền khẳng định của hàm số f . Tập hòa hợp f (X) = y ∈ , y = f (x) : x ∈ X điện thoại tư vấn là miền quý giá của f giả dụ hàm số một trở thành số mang lại trong dạng biểu thức: y = f (x) cơ mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền khẳng định của hàm số là tập hợp phần đa giá trị thực của đổi thay số x tạo nên biểu thức có nghĩa. Lấy ví dụ như 1: Biểu thức y = 1 − x 2 xác định khi : 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Cho nên vì vậy miền khẳng định của hàm số y = 1 − x 2 là . Thuận lợi thấy rằng miền quý hiếm của hàm y là . Miền xác định của một hàm số hoàn toàn có thể gồm những tập nhỏ rời nhau, trên từng tập con này lại có một phép tắc riêng để khẳng định giá trị của hàm số. Hàm số rất có thể được xác định bởi nhiều công thức khác biệt tùy thuộc vào quý hiếm của biến. Lấy một ví dụ 2: ⎧ x 2 + 1 khi x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩1 − 2x khi x bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số hoàn toàn có thể là tập hợp những điểm tách rạc, cũng có thể gồm một vài cung ngay tức khắc Ví dụ 3: ⎧ ⎪x 2 khi x ≤ 0 ⎪ Đồ thị của hàm số y = ⎨ x khi 0 1 ⎩2 Hình 1.1 câu hỏi vẽ demo đồ thị của hàm số f với miền xác minh là một khoảng tầm số thực thường được khẳng định theo trình tự như sau: Lấy những số x1 , x 2 ,…, x n tự miền xác định của hàm số (càng các điểm và những điểm càng ngay sát nhau càng tốt). • Tính các giá trị tương xứng của hàm số y1 = f (x1 ),…, y n = f (x n ) • khẳng định các điểm • M1 = (x1 , y1 ),…, M n = (x n , y n ) • Nối các điểm đã khẳng định nói bên trên ta tất cả hình ảnh phác họa của đồ dùng thị hàm số. Cách vẽ như bên trên không hoàn toàn chính xác mà chỉ cho dáng vẻ của trang bị thị hàm số. Đồ thị của hàm số được dùng làm minh họa Hình 1.2 các đặc trưng cơ bản, sự nhờ vào của cực hiếm của hàm số và biến đổi số. Quan sát vào trang bị thị rất có thể dễ dàng quan liền kề xu hướng đổi khác của quý hiếm hàm số lúc biến tự do thay đổi.1.1.3. Hàm số đối chọi điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn1.1.3.1. Hàm số đối kháng điệu Hàm số f (x) xác minh trong khoảng (a, b) • Được điện thoại tư vấn là đối chọi điệu tăng trong tầm (a, b) nếu với tất cả x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục (Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ vết đẳng thức, tức là: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 f (x 2 ) thì ta nói hàm f bớt ngặt (hay nghịch biến) trên (a, b) ). Hàm số f được điện thoại tư vấn là đối kháng điệu trên (a, b) trường hợp nó chỉ đối chọi điệu tăng hoặc chỉ solo điệu giảm trong tầm này. Đồ thị của hàm số tăng là 1 đường “đi lên”, trái lại đồ thị hàm số giảm là con đường “đi xuống” nếu quan sát từ trái quý phái phải. Hình 1.31.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f xác minh trên một tập đúng theo D đối xứng ( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ) , chẳng hạn khoảng (−l, l) , đoạn , tập (−b, −a) ∪ (a, b)(0 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và thường xuyên còn hàm số h(x) = x 3 , k(x) = sin x là những hàm lẻ trên R vì: ⎫ h(− x) = ( − x)3 = ( − x)3 = −h(x) ⎬ ∀x ∈ R k(− x) = sin( − x) = − sin x = −k(x) ⎭ Đồ thị của hàm chẵn dìm trục Oy làm trục đối xứng, còn vật dụng thị hàm lẻ nhận cội tọa độ O làm tâm đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ:1.1.3.3. Hàm số tuần hoàn Định nghĩa: Hàm số f được call là tuần trả trên miền xác định D (thông hay xét D ≡ R ) ví như tồn trên số thực phường ≠ 0 sao cho: ∀x ∈ D thì x ± p ∈ D cùng f (x + p) = f (x). Số p gọi là chu kỳ luân hồi của hàm f . 5 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp Nếu trong số số p nói trên, tồn tại một vài dương nhỏ dại nhất – cam kết hiệu bởi vì T – thì T được điện thoại tư vấn là chu kỳ cơ phiên bản của f . Ví dụ 5: những hàm sin x, cos x hầu như tuần trả với chu kỳ luân hồi 2π vì: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x ∀x ∈ R những hàm tgx,cotgx hồ hết tuần hoàn với chu kỳ luân hồi π vì: π tg ( x + π ) = tgx,∀x ≠ + kπ;cotg(x + π) = cotg,∀x ≠ kπ 2 hơn thế nữa các chu kỳ luân hồi nói trên đông đảo là những chu kỳ cơ bản. Thật vậy, chẳng hạn xem xét hàm y = sin x , trả sử trường thọ số dương T bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên Hàm số g trở nên x thành y theo quy tắc trên điện thoại tư vấn là (hàm số) đúng theo của nhị hàm f và ϕ . Cam kết hiệu: g = f (ϕ(x)) . (Nhớ rằng trong biện pháp ký hiệu trên, hàm nào lép vế lại có ảnh hưởng tác động trước đến biến x ). Lấy ví dụ như 6: Hàm số y = sin 5 x là hàm đúng theo của nhì hàm y = u 5 với u = sin x . Phương pháp nói sau cũng khá được chấp nhận: “Hàm số g(x) = sin 5 x là hàm đúng theo của nhì hàm f (x) = x 5 và ϕ(x) = sin x ”.1.1.5. Hàm số ngược Xét hàm số y = f (x) có miền xác định X , miền giá trị Y = f (X) . Nếu như với mỗi y 0 ∈ Y tồn tại độc nhất x 0 ∈ X để f (x 0 ) = y0 (hay phương trình f (x) = y0 bao gồm nghiệm nhất trong X ) thì quy tắc biến đổi mỗi số y ∈ Y thành nghiệm độc nhất vô nhị của phương trình f (x) = y là một hàm số đi tự Y mang lại X gọi là hàm ngược của hàm f , ký kết hiệu f −1 f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. Lúc đó, tiện lợi thấy rằng f là hàm ngược của f −1 . Lấy một ví dụ 7: Hàm số y = x 3 ( R → R ) gồm hàm ngược là hàm số x = 3 y ( R → R ) vì: • y = x3 ⇔ x = 3 y Hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ( R → R* ) tất cả hàm ngược là hàm số x = log a y + • ( R* → R ) vì: + y = a x ⇔ x = log a x. • những hàm lượng giác quen thuộc đều sở hữu hàm ngược với cùng một cách ký kết hiệu: ⎛ ⎡ π π⎤ ⎞ Hàm số y = sin x ⎜ ⎢ − , ⎥ → ⎟ bao gồm hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược o ⎝⎣ 2 2⎦ ⎠ kia là: ⎛ ⎡ π π⎤⎞ x = arcsin y ⎜ → ⎢ − , ⎥ ⎟ . ⎣ 2 2⎦⎠ ⎝ ( → ) Hàm số y = cos x bao gồm hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược o kia là: x = arccos y ( → ) . ⎛⎛ π π ⎞ ⎞ Hàm số y = tgx ⎜ ⎜ − , ⎟ → R ⎟ tất cả hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược đó là: o ⎝⎝ 2 2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ x = arctgy ⎜ → ⎜ − , ⎟ ⎟. ⎝ 2 2 ⎠⎠ ⎝ 7 bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục ( ( 0, π ) → R ) bao gồm hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: Hàm số y =cotgx o x = arccotgy ( → ( 0.π ) ) ( R → ( 0, π ) ) CHÚ Ý : • vị thường ký kết hiệu x nhằm chỉ biến độc lập và y để chỉ biến phụ thuộc nên khi màn biểu diễn hàm ngược thay do x = f −1 (y) tất cả viết y = f −1 (x) . Ví dụ điển hình y = log a x là hàm ngược của hàm: y = a x • Đồ thị của hai hàm ngược nhau không biến đổi như khi thay đổi vai trò x,y cho nhau thì nó đối xứng nhau qua con đường phân giác sản phẩm công nghệ nhất. Thật vậy, điện thoại tư vấn (C) với (C’) theo thứ tự là đồ vật thị của nhị hàm f (x) cùng f −1 (x) thì theo định nghĩa: M = (x, y) ∈ (C) ⇔ M ” = (y, x) ∈ (C “) Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit1.1.6. Những hàm số sơ cấp1.1.6.1. Những hàm số sơ cung cấp cơ bạn dạng • Hàm lũy vượt y = x α (α ∈ R) Miền xác minh (MXĐ) của hàm phụ thuộc vào số α . O nếu α ≥ 0 , MXĐ là R . O nếu α nguyên âm. MXĐ là R 0 . 1 trường hợp α = , p. ∈ R* thì MXĐ là R + nếu o p p chẵn cùng R nếu p. Lẻ. Hình 1.7: Đồ thị hàm số y = x 3 nếu như α vô tỷ, MXĐ được quy mong là R + . O • Hàm mũ: f (x) = a x (0 1 và nghịch trở thành nếu 0 1 với nghịch phát triển thành nếu o 0 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục y = cos x : gồm MXĐ là R ,o MGT ; cho tương ứng mỗi số thực x cùng với hoành độ điểm trình diễn cung x radian trên tuyến đường tròn lượng giác. Hàm cos là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ luân hồi cơ phiên bản 2π . Y = tgx : bao gồm MXĐ lào π ⎧ ⎫ R ⎨(2k+1) , k ∈ Z ⎬ , ⎩ 2 ⎭ MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực x với tung độ của giao Hình 1.8: Quy tắc xác định các hàm vị giác điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) cùng với trục rã là con đường thẳng có phương trình: x = 1 . Hàm tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản π . Y = cotgx: tất cả MXĐ là R kπ, k ∈ Z , MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực xo cùng với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên phố tròn lượng giác) cùng với trục cotg là con đường thẳng bao gồm phương trình y = 1 . Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bạn dạng π . Hình 1.9: Đồ thị những hàm số lượng giác 9 bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên • hàm lượng giác ngược ⎡ π π⎤ y = arcsin x : gồm MXĐ là , MGT ⎢ − , ⎥ là hàm ngược của hàm sin. O ⎣ 2 2⎦ Hàm y = arcsin x là hàm lẻ, đồng biến. Y = arccos x : bao gồm MXĐ là , MGT là hàm ngược của hàm cos. O Hàm y = arccos x là hàm nghịch biến. O ⎛ π π⎞ y = arctgx : tất cả MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm tg. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arctgx là hàm lẻ, đồng biến. ⎛ π π⎞ y = arccotgx : tất cả MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm cotgx. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arccotgx là hàm lẻ, nghịch biến. Hình 1.10: Đồ thị những hàm lượng giác ngược1.1.6.2. Định nghĩa Hàm số sơ cấp là một trong những hàm số được ra đời từ các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hằng cùng với một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân chia) và các phép toán rước hàm hợp. Lấy ví dụ 8: những hàm số sau đầy đủ là những hàm sơ cấp: • Hàm bậc nhất: y = ax + b .10 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục • Hàm bậc hai: y = ax 2 + bx + c . ) ( • Hàm lôgarit: log a x + x 2 + 1 . 1 + sin x • lượng chất giác: y = + arctg(2x + 3) . 1− x2 x • Hàm phân thức hũu tỷ: y = . 1− x21.2. Hàng số và giới hạn của dãy số1.2.1. Khái niệm1.2.1.1. Dãy số Ta điện thoại tư vấn dãy số là 1 trong những tập hợp các số (gọi là các số hạng) được viết theo một thứ tự, hay được khắc số bằng các số từ bỏ nhiên. Để cho một dãy số, fan ta hoàn toàn có thể dùng các cách thức như liệt kê, công thức tổng thể và cách làm truy hồi. • Liệt kê: Viết toàn bộ các số hạng theo đúng thứ từ bỏ (nếu không viết được hết thì dùng dấu “…” để biểu lộ dãy xem thêm tục). • cách làm tổng quát: chứng thực cách xác minh một số hạng ngẫu nhiên chỉ cần biết thứ tự của số hạng kia trong dãy. • phương pháp truy hồi: chứng tỏ cách xác minh một số hạng khi biết các số hạng ngay thức thì trước nó vào dãy. • Liệt kê chỉ có chân thành và ý nghĩa mô tả và phù hợp nhất với hàng hữu hạn, có thể xem là cách màn trình diễn bằng quy nạp không hoàn toàn. Còn hai biện pháp kia đảm bảo có thể tìm được số hạng với vật dụng tự bất kỳ trong dãy. Lấy ví dụ như 9: hàng Fibonacci và 3 cách biểu diễn nêu trên • Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … • cách làm tổng quát: Số hạng máy n là: n n ⎛ 1− 5 ⎞ ⎛ 1+ 5 ⎞ ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ • phương pháp truy hồi: hai số hạng trước tiên đề bởi 1, tiếp đó, số hạng sau được tính bằng tổng nhì số hạng ngay thức thì trước. Công thức tổng thể của hàng số là phương pháp biểu diễn tốt nhất có thể để hoàn toàn có thể định nghĩa hàng số. Dựa vào nó, dãy số được định nghĩa một giải pháp hết sức đơn giản mà chặt chẽ. Định nghĩa: dãy số là một ánh xạ (hàm số) tất cả miền xác định là (hoặc một tập con những số trường đoản cú nhiên liên tục của ) và lấy quý hiếm trong tập những số thực R . Ta thường cam kết hiệu dãy số bởi vì x n n =1 tốt gọn rộng x n .


Bạn đang xem: Giới hạn lượng giác toán cao cấp


Xem thêm: Đề Đọc Hiểu Mẹ Ơi Con Đã Già Rồi Con Ngồi Nhớ Mẹ Khóc Như Trẻ Con Đọc Hiểu

∞ 11 bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp Ví dụ 10: ∞ ⎧1⎫ ⎧11 1⎫ ⎨ ⎬ = ⎨1, , ,…, ,…⎬ (A) ⎩ n ⎭n =1 ⎩ 2 3 n⎭ (−1) = −1,1, −1,…, (−1) n ,… n∞ (B) n =1 n = 1, 4,9,…, n 2 ,… 2∞ (C) n =1 ∞ ⎧n⎫ ⎧1 2 3 ⎫ n ⎬ = ⎨ , , ,…, (D) ,…⎬ ⎨ ⎩ n + 1 ⎭n =1 ⎩ 2 3 4 n +1 ⎭1.2.1.2. Hàng tăng, hàng giảm, dãy bị chặn Dãy x n gọi là • hàng tăng nếu x n x n +1 ∀n ∈ • Dãy đối kháng điệu giả dụ nó là dãy tăng hoặc hàng giảm.