NộI Dung:
Các tọa độ trụ bọn chúng được thực hiện để xác định các điểm trong không gian ba chiều và bao hàm tọa độ xuyên trọng điểm ρ, tọa độ vị trí φ với tọa độ độ cao z
Một điểm p. Nằm trong không gian được chiếu trực giao lên mặt phẳng XY làm phát sinh điểm p ’ bên trên máy cất cánh đó. Khoảng cách từ điểm gốc đến điểm P ’ xác minh tọa độ ρ, trong những khi góc tạo bởi vì trục X với tia OP ' xác định tọa độ φ. Cuối cùng, tọa độ z là hình chiếu trực giao của điểm p trên trục Z. (xem hình 1).
Bạn đang xem: Hệ tọa độ trụ
Tọa độ xuyên chổ chính giữa ρ luôn dương, tọa độ phương vị φ thay đổi từ 0 radian đến hai radian pi, trong khi tọa độ z hoàn toàn có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào:
0 ≤ ρ
0 ≤ φ
Thay đổi tọa độ
Tương đối thuận tiện lấy được tọa độ Descartes (x, y, z) của một điểm phường từ tọa độ trụ (ρ, φ, z) của nó:
x = ρ cos (φ)
y = ρ sin (φ)
z = z
Nhưng cũng có thể lấy tọa độ cực (ρ, φ, z) ban đầu từ loài kiến thức về tọa độ Descartes (x, y, z) của một điểm P:
ρ = √ (x2 + và2)
φ = arctan (y / x)
z = z
Cơ sở vectơ trong tọa độ trụ
Cơ sở của vectơ đơn vị hình trụ được khẳng định Uρ, Uφ, Uz.
Véc tơ Uρ là tiếp đường của đường φ = ctte với z = ctte (hướng ra ngoài), vectơ Uφ là tiếp tuyến của con đường ρ = ctte với z = ctte và sau cùng là Uz có cùng phương cùng với trục Z.
Trong cơ sở đơn vị hình trụ, vectơ vị trí r của một điểm phường được viết theo phương thức vectơ như vậy này:
r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz
Mặt khác, một gửi vị vô cực dr từ điểm P, nó được biểu hiện như sau:
dr = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz
Tương tự, một trong những phần tử khôn cùng của thể tích dV vào tọa độ trụ là:
dV = ρ dρ dφ dz
Ví dụ
Có vô số ví dụ về việc thực hiện và ứng dụng của tọa độ trụ. Trong bản đồ học, ví dụ, phép chiếu hình trụ, dựa đúng chuẩn vào các tọa độ này. Có nhiều ví dụ khác:
ví dụ 1
Tọa độ hình tròn có ứng dụng trong công nghệ. Ví dụ, có hệ thống CHS (Cylinder-Head-Sector) vị trí tài liệu trên đĩa cứng, thực sự gồm một số đĩa:
- hình tròn trụ hoặc mặt đường ray tương ứng với tọa độ ρ.
- khu vực tương ứng với địa chỉ φ của đĩa quay ở mức cao vận tốc góc.
- Đầu tương xứng với địa chỉ z của đầu gọi trên đĩa tương ứng.
Mỗi byte tin tức có một địa chỉ cửa hàng chính xác trong những tọa độ trụ (C, S, H).
Ví dụ 2
Cần trục thi công cố định và thắt chặt vị trí của mua trọng theo hệ tọa độ trụ. địa điểm nằm ngang được xác định bởi khoảng cách đến trục hoặc mũi tên của đề xuất trục ρ và do vị trí góc của nó φ so với một số trục tham chiếu. Vị trí thẳng đứng của cài được xác minh bởi tọa độ z của chiều cao.
Bài tập vẫn giải
Bài tập 1
Có điểm P1 tất cả tọa độ trụ (3, 120º, -4) cùng điểm P2 gồm tọa độ trụ (2, 90º, 5). Tra cứu Khoảng cách Euclide giữa hai điểm này.
Giải pháp: Trước hết, bọn họ tiến hành tìm tọa độ Descartes của mỗi điểm theo công thức đã đến ở trên.
P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)
P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)
Khoảng cách Euclide giữa P1 với P2 là:
d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5))2+(2 – 2.60)2+(5 -(-4))2 ) =…
… √(2.25+0.36+81) = 9.14
Bài tập 2
Điểm p có tọa độ Descartes (-3, 4, 2). Search tọa độ trụ tương ứng.
Giải pháp: chúng ta tiến hành tìm kiếm tọa độ trụ bằng phương pháp sử dụng những mối quan hệ đã đến ở trên:
ρ = √ (x2 + và2) = √((-3)2 + 42) = √(9 + 16) = √(25) = 5
φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º
z = 2
Cần nhớ là hàm arctangent là đa cực hiếm với chu kỳ luân hồi 180º. Quanh đó ra, góc φ yêu cầu thuộc góc phần tứ thứ hai, vị tọa độ x và y của điểm p nằm vào góc phần tư đó. Đây là nguyên nhân tại sao 180º đã được thêm vào công dụng φ.
Bài tập 3
Biểu thị bằng tọa độ trụ cùng tọa độ Descartes mặt phẳng của một hình trụ có nửa đường kính 2 và bao gồm trục của chính nó trùng cùng với trục Z.
Giải: tín đồ ta hiểu rõ rằng hình trụ tất cả độ dãn vô hạn theo phương z cần phương trình của mặt kia trong hệ tọa độ hình tròn là:
ρ = 2
Để đã có được phương trình Descartes của mặt trụ, bình phương của tất cả hai thành phần của phương trình trước này được lấy:
ρ2 = 4
Chúng tôi nhân với cùng một cả hai thành viên của đẳng thức trước kia và vận dụng nhận dạng lượng giác cơ bản (sen2(φ) + cos2(φ) =1 ):
1 * ρ2 = 1 * 4
(sen2(φ) + cos2(φ) ) * ρ2 = 1 * 4
Dấu ngoặc đối chọi được cách tân và phát triển để lấy:
(ρ sin (φ))2 + (ρ cos (φ))2 = 4
Chúng ta ghi nhớ rằng lốt ngoặc đơn trước tiên (ρ sin (φ)) là tọa độ y của một điểm trong tọa độ cực, trong những lúc dấu ngoặc 1-1 (ρ cos (φ)) đại diện cho tọa độ x, bởi vì đó họ có phương trình của hình tròn trụ trong hệ tọa độ Descartes:
Y2 + x2 = 22
Không phải nhầm lẫn phương trình trước với phương trình của chu vi trong mặt phẳng XY, vày trong trường phù hợp này, nó sẽ y hệt như sau: y2 + x2 = 22 ; z = 0.
Xem thêm: Thiết Bị Đèn Uv ( Tia Cực Tím Diệt Khuẩn, Nguồn Sáng Uv
Bài tập 4
Một hình trụ bán kính R = 1 m với cao H = 1m có cân nặng của nó được phân bổ hướng trung tâm theo phương trình sau D (ρ) = C (1 - ρ / R) trong đó C là hằng số có mức giá trị C = 1 kg / m3. Tìm cân nặng toàn phần của khối trụ tính bởi ki-lô-gam.
Giải pháp: Điều trước tiên là nhận biết rằng hàm D (ρ) thể hiện mật độ cân nặng thể tích, cùng mật độ cân nặng được phân bố trong những vỏ hình tròn trụ có tỷ lệ giảm dần dần từ tâm ra nước ngoài vi. Một trong những phần tử bé dại nhất của thể tích theo đặc thù đối xứng của việc là:
dV = ρ dρ 2π H
Do đó, trọng lượng vô cùng nhỏ tuổi của một vỏ hình trụ sẽ là:
dM = D (ρ) dV
Do đó, tổng trọng lượng của hình trụ đã được biểu lộ như sau tích phân xác định:
M = ∫hoặc làR D (ρ) dV = ∫hoặc làR C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π H C ∫hoặc làR (1 - ρ / R) ρ dρ
Giải pháp của tích phân được chỉ ra rằng không khó để có được, công dụng của nó là:
∫hoặc làR (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R2
Kết hợp kết quả này cùng với biểu thức cân nặng của hình trụ, chúng ta thu được:
M = 2π H C (⅙) R2 = ⅓ π H C R2 =
⅓ π 1m * 1kg / m3 * 1m2 = π / 3 kg ≈ 1,05 kg