Bài viết này pragamisiones.com reviews đến chúng ta đọc triết lý và lấy ví dụ như minh hoạ tất cả lời giải cụ thể về khai triển Taylor dùng làm xấp xỉ hàm số bởi vì một nhiều thức:

*

1. Khai triển Taylor đối với đa thức

Xét nhiều thức $P(x)=a_nx^n+a_n-1x^n-1+...+a_1x+a_0,$ khi ấy với điểm $x_0$ bất cứ ta có

$P(x)=P(x_0)+fracP"(x_0)1!(x-x_0)+fracP""(x_0)2!(x-x_0)^2+...+fracP^(n)(x_0)n!(x-x_0)^n.$

Ví dụ 1: Khai triển $P(x)=x^3+x-1$ theo luỹ quá nguyên dương của $x-1.$

Giải. Có $P"(x)=3x^2+1,P""(x)=6x,P"""(x)=6.$ Vậy

$eginarrayc P(x) = P(1) + fracP"(1)1!(x - 1) + fracP""(1)2!(x - 1)^2 + fracP"""(1)3!(x - 1)^3\ = 1 + frac41!(x - 1) + frac62!(x - 1)^2 + frac63!(x - 1)^3\ = 1 + 4(x - 1) + 3(x - 1)^2 + (x - 1)^3. endarray$

Ví dụ 2: Khai triển nhiều thức $P(x)=x^5+x^3-3x^2+1$ theo luỹ vượt nguyên dương của $x-1.$

Giải. Có $left{ eginarrayl P(x) = x^5 + x^3 - 3x^2 + 1\ P"(x) = 5x^4 + 3x^2 - 6x\ P""(x) = 20x^3 + 6x - 6\ P"""(x) = 60x^2 + 6\ P^(4)(x) = 120x\ P^(5)(x) = 120 endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl P(1) = 0\ P"(1) = 2\ P""(1) = 20\ P"""(1) = 66\ P^(4)(1) = 120\ P^(5)(1) = 120 endarray ight..$ Vậy

$eginarrayc P(x) = frac21!(x - 1) + frac202!(x - 1)^2 + frac663!(x - 1)^3 + frac1204!(x - 1)^4 + frac1205!(x - 1)^5\ = 2(x - 1) + 10(x - 1)^2 + 11(x - 1)^3 + 5(x - 1)^4 + (x - 1)^5. endarray$

2. Triển khai Taylor so với hàm số bất kì

Khai triển Taylor cùng với phần dư dạng Peano

Giả sử hàm số $f(x)$ bao gồm đạo hàm đến cấp cho $n$ trong lân cận $(x_0-delta ;x_0+delta )$ của điểm $x_0.$ lúc đó:

$f(x)=f(x_0)+fracf"(x_0)1!(x-x_0)+fracf""(x_0)2!(x-x_0)^2+...+fracf^(n)(x_0)n!(x-x_0)^n+oleft< (x-x_0)^n ight>.$

công thức trên được hotline là phương pháp khai triển Taylor của hàm số $f(x)$ mang đến bậc $n$ trên điểm $x_0$ với phần dư dạng Peano.

Bạn đang xem: Khai triển cos2x

$r(x)=oleft< (x-x_0)^n ight>$ được điện thoại tư vấn là phần dư cùng được call là phần dư dạng peano.

Khai triển Mac – Laurin

Trong công thức khai triển Taylor với phần dư dạng peano khi $x_0=0,$ ta có

$f(x)=f(0)+fracf"(0)1!x+fracf""(0)2!x^2+...+fracf^(n)(0)n!x^n+o(x^n).$

công thức này được hotline là công thức khai triển Mac – Laurin

Khai triển Taylor với phần dư dạng Lagrange

Giả sử hàm số $f(x)$ bao gồm đạo hàm đến cung cấp $n+1$ trong kề bên $(x_0-delta ;x_0+delta )$ của điểm $x_0.$ khi đó:

$f(x)=f(x_0)+fracf"(x_0)1!(x-x_0)+fracf""(x_0)2!(x-x_0)^2+...+fracf^(n)(x_0)n!(x-x_0)^n+fracf^(n+1)(c)(n+1)!(x-x_0)^n+1,$ trong các số đó $c$ là điểm nào đó nằm giữa $x$ cùng $x_0.$

công thức bên trên được call là phương pháp khai triển Taylor của hàm số $f(x)$ mang lại bậc $n$ tại điểm $x_0$ với phần dư dạng lagrange.

$r(x)=fracf^(n+1)(c)(n+1)!(x-x_0)^n+1,$ được điện thoại tư vấn là phần dư dạng Lagrange.

3. Khai triển Mac - Laurin của một số trong những hàm sơ cung cấp hay dùng

$y=e^xRightarrow y^(n)(x)=e^xRightarrow y^(n)(0)=1Rightarrow e^x=1+fracx1!+fracx^22!+fracx^33!+...+fracx^nn!+o(x^n).$$y = sin x Rightarrow y^(n)(x) = sin left( x + fracnpi 2 ight) Rightarrow y^(n)(0) = sin fracnpi 2 = left{ eginarrayl 0,n = 2k\ ( - 1)^k,n = 2k + 1 endarray ight..$

Vậy $sin x=x-fracx^33!+fracx^55!-...+frac(-1)^n(2n+1)!x^2n+1+o(x^2n+1).$

$y = cos x Rightarrow y^(n)(x) = cos xleft( x + fracnpi 2 ight) Rightarrow y^(n)(0) = cos fracnpi 2 = left{ eginarrayl ( - 1)^k,n = 2k\ 0,n = 2k + 1 endarray ight..$

Vậy $cos x=1-fracx^22!+fracx^44!-...+frac(-1)^n(2n)!x^2n+o(x^2n).$

$y=ln (1+x)Rightarrow y^(n)(x)=frac(-1)^n-1(n-1)!(x+1)^nRightarrow y^(n)(0)=(-1)^n-1(n-1)!.$

Vậy$ln (1 + x) = x - fracx^22 + fracx^33 - ... + frac( - 1)^n - 1x^nn + o(x^n).$

$y=frac1x+1Rightarrow y^(n)(x)=frac(-1)^nn!(x+1)^n+1Rightarrow y^(n)(0)=(-1)^nn!.$

Vậy $frac1x+1=1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+o(x^n).$

Ví dụ 1: Khai triển Taylor đến cấp 2 tại điểm $x=frac12$ cùng với phần dư dạng peano của hàm số $f(x)=arcsin x.$

Giải. Có $fleft( frac12 ight)=arcsin frac12=fracpi 6$ cùng $f"(x)=frac1sqrt1-x^2Rightarrow f"left( frac12 ight)=frac2sqrt3$ với $f""(x)=fracxsqrt(1-x^2)^3Rightarrow f""left( frac12 ight)=frac43sqrt3.$

Vậy $f(x)=fracpi 6+frac2sqrt3(x-1)+frac23sqrt3(x-1)^2+oleft< (x-1)^2 ight>.$

Ví dụ 2: Khai triển Taylor đến cung cấp 5 tại điểm $x=1$ với phần dư dạng peano của hàm số $f(x)=(x-1)^3arccos (x-1).$

Giải. Ta khai triển Taylor đến cung cấp 2 trên điểm $x=1$ cùng với phần dư dạng peano của hàm số $g(x)=arccos (x-1).$

Có $g(1)=arccos 0=fracpi 2$ và $g"(x)=-frac1sqrt1-(x-1)^2=-frac1sqrt2x-x^2Rightarrow g"(1)=-1$ với $g""(x)=frac1-xsqrt(2x-x^2)^3Rightarrow g""(1)=0.$ Suy ra $g(x)=fracpi 2-(x-1)+oleft< (x-1)^2 ight>.$

Vậy $f(x)=(x-1)^3g(x)=fracpi 2(x-1)^3-(x-1)^4+oleft< (x-1)^5 ight>.$

Ví dụ 3: Khai triển hàm số $f(x)=sqrt<3>x+7$ theo luỹ quá của $x-1$ cho bậc 3 với phần dư dạng peano.

Giải. Ta có

$eginarrayl f(1) = 2;\ f"(x) = frac13(x + 7)^ - frac23 Rightarrow f"(1) = frac112;\ f""(x) = - frac29(x + 7)^ - frac53 Rightarrow f""(1) = - frac1144;\ f"""(x) = frac1027(x + 7)^ - frac83 Rightarrow f"""(1) = frac53456. endarray$

Vậy $f(x)=2+frac112(x-1)-frac1288(x-1)^2+frac520736(x-1)^3+oleft< (x-1)^3 ight>.$

Ví dụ 4: Khai triển Mac – Laurin đến cấp 4 của hàm số $f(x)=intlimits_0^xln (1+t)dt.$

Giải. Ta có

$eginarrayl f(0) = 0;\ f"(x) = ln (1 + x) Rightarrow f"(0) = 0;\ f""(x) = frac11 + x Rightarrow f""(0) = 1;\ f"""(x) = - frac1(1 + x)^2 Rightarrow f"""(0) = - 1;\ f^(4)(x) = frac2(1 + x)^3 Rightarrow f^(4)(0) = 2. endarray$

Vậy $f(x)=frac12x^2-frac16x^3+frac112x^4+o(x^4).$

Ví dụ 5: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=x^2sin 2x+3.$

Giải. Có $g(x)=sin 2x=2x-frac(2x)^33!+frac(2x)^55!-...+frac(-1)^n-1(2n-1)!(2x)^2n-1+o(x^2n-1).$

Vậy $f(x)=x^2g(x)+3=3+2x^3-frac2^33!x^5+frac2^55!x^5-...+frac(-1)^n-12^2n-1(2n-1)!x^2n+1+o(x^2n+1).$

Ví dụ 6: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=dfrac12x+3.$

Giải. Ta có

<eginarrayl f(0) = frac13;\ f"(x) = - frac2(2x + 3)^2 Rightarrow f"(0) = - frac29;\ f""(x) = frac8(2x + 3)^3 Rightarrow f""(0) = frac827;\ f"""(x) = - frac48(2x + 3)^4 Rightarrow f"""(0) = - frac1627;\ ...\ f^(n)(x) = frac( - 2)^n.n!(2x + 3)^n + 1 Rightarrow f^(n)(x) = frac( - 2)^n.n!3^n + 1. endarray>

Vậy $f(x)=frac13-frac29x+frac827x^2-frac1627x^3+...+frac(-2)^n.n!3^n+1x^n+o(x^n).$

Ví dụ 7: Khai triển Taylor theo những luỹ thừa của $x-1$ mang đến bậc ba của hàm số $f(x)=dfrac1sqrtx.$

Giải. Ta có

$eginarrayl f(x) = frac1sqrt x Rightarrow f(1) = 1;\ f"(x) = - frac12x^ - frac32 Rightarrow f"(1) = - frac12;\ f""(x) = frac34x^ - frac52 Rightarrow f""(1) = frac34;\ f"""(x) = - frac158x^ - frac72 Rightarrow f"""(1) = - frac158. endarray$

Vậy $f(x)=1-frac12(x-1)+frac38(x-1)^2-frac516(x-1)^3+oleft< (x-1)^3 ight>.$

Ví dụ 8: Khai triển Taylor theo theo luỹ quá của $x-1$ mang đến bậc cha của hàm số $f(x)=x^x-1.$

Giải. Ta có

$eginarrayl f(x) = x^x - 1 Rightarrow f(1) = 0;\ f(x) = e^xln x - 1 Rightarrow f"(x) = left( ln x + 1 ight)e^xln x Rightarrow f"(1) = 1;\ f""(x) = frac1xe^xln x + left( ln x + 1 ight)^2e^xln x Rightarrow f""(1) = 2;\ f"""(x) = - frac1x^2e^xln x + frac1xleft( ln x + 1 ight)e^xln x + frac2x(ln x + 1)e^xln x + left( ln x + 1 ight)^3e^xln x Rightarrow f"""(1) = 3. endarray$

Vậy $f(x)=(x-1)+(x-1)^2+frac12(x-1)^3+oleft< (x-1)^3 ight>.$

Ví dụ 9: Khai triển Taylor theo theo luỹ thừa của $x-2$ cho bậc bố của hàm số $f(x)=dfracxx-1.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl f(x) = fracxx - 1 Rightarrow f(2) = 2;\ f(x) = frac(x - 1) + 1x - 1 = 1 + frac1x - 1 Rightarrow f"(x) = - frac1(x - 1)^2 Rightarrow f"(2) = - 1;\ f""(x) = frac2(x - 1)^3 Rightarrow f""(2) = 2;\ f"""(x) = - frac6(x - 1)^4 Rightarrow f"""(2) = - 6. endarray$

Vậy $f(x)=2-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+oleft< (x-1)^3 ight>.$

Ví dụ 10: Khai triển Taylor theo theo luỹ quá của $x-1$ mang lại bậc cha của hàm số $f(x)=ln (1-x+x^2).$

Giải.

$eginarrayl f(x) = ln (1 - x + x^2) Rightarrow f(1) = 0;\ f"(x) = dfrac2x - 1x^2 - x + 1 Rightarrow f"(1) = 1;\ f""(x) = - dfrac2x^2 - 2x - 1(x^2 - x + 1)^2 Rightarrow f""(1) = 1;\ f"""(x) = dfrac2(2x - 1)(x^2 - x - 2)(x^2 - x + 1)^3 Rightarrow f"""(1) = - 4. endarray$

Vậy $f(x)=(x-1)+dfrac(x-1)^22-dfrac2(x-1)^33+oleft< (x-1)^3 ight>.$

Ví dụ 11: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=e^-dfracx^22.$

Giải. Xét $g(x)=e^x$ ta có $g(x)=e^xRightarrow g(0)=1;g^(n)(x)=e^xRightarrow g^(n)(0)=1.$

Vậy $g(x)=1+fracx1!+fracx^22!+fracx^33!+...+fracx^nn!+o(x^n).$

Suy ra $f(x)=gleft( -fracx^22 ight)=1-fracx^21!.2^1+fracx^42!.2^2-fracx^63!.2^3+...+frac(-1)^nx^2nn!.2^n+o(x^2n).$

Ví dụ 12: Khai triển Mac – Laurin mang đến luỹ thừa bậc 3 của $x$ của hàm số $f(x)=e^sin x.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl f(x) = e^sin x Rightarrow f(0) = 1;\ f"(x) = cos xe^sin x Rightarrow f"(0) = 1;\ f""(x) = - sin xe^sin x + cos ^2xe^sin x Rightarrow f""(0) = 1;\ f"""(x) = - cos xe^sin x - sin xcos xe^sin x - 2cos xsin xe^sin x + cos ^3xe^sin x Rightarrow f"""(0) = 0. endarray$

Vậy $f(x)=1+x+fracx^22+o(x^3).$

Ví dụ 13: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=e^ an x$ mang lại bậc 5 của $x.$

Giải. Có $f(x)=1+x+fracx^22+fracx^32+frac3x^48+o(x^5).$

Ví dụ 14: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $y=xsin x^2$ đến luỹ thừa $x^11.$

Giải. Có $sin x=x-fracx^33!+fracx^55!+o(x^5).$

Suy ra $sin x^2=x^2-fracx^63!+fracx^105!+o(x^10).$

Vì vậy $xsin x^2=x^3-fracx^73!+fracx^115!+o(x^11).$

Ví dụ 15:Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=dfracx^2+5x^2+x-12.$

Có $egingathered f(x) = fracx^2 + 5x^2 + x - 12 = 1 + frac2x - 3 - frac3x + 4 = 1 - frac23frac11 - fracx3 - frac34frac11 + fracx4 \ = 1 - frac23left( 1 - left( - fracx3 ight) + left( - fracx3 ight)^2 - ... + ( - 1)^nleft( - fracx3 ight)^n + o(x^n) ight) - frac34left( 1 - left( fracx4 ight) + left( fracx4 ight)^2 - ... + ( - 1)^nleft( fracx4 ight)^n + o(x^n) ight) \ = - frac512 - frac5144x - frac2091728x^2 - ... + ( - 1)^nleft( - frac23left( - frac13 ight)^n - frac34left( frac14 ight)^n ight)x^n + o(x^n). \ endgathered $

Ví dụ 16:Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=cos ^3x.$

Có $egingathered f(x) = cos ^3x = frac14cos 3x + frac34cos x \ = frac14left( 1 - fracleft( 3x ight)^22! + fracleft( 3x ight)^44! - ... + frac( - 1)^nleft( 3x ight)^2n(2n)! + o(x^2n) ight) + frac34left( 1 - fracx^22! + fracx^44! - ... + frac( - 1)^nx^2n(2n)! + o(x^2n) ight) \ = 1 - frac32x^2 + frac78x^4 - ... + ( - 1)^nfrac9^n + 34(2n)!x^2n + o(x^2n). \ endgathered $

Ví dụ 17:Khai triển Taylor của hàm số $f(x)=ln left( dfrac(x-1)^x-23-x ight)$ đếp cung cấp 4 của $x-2$ cùng với phần dư dạng Peano.

Có $egingathered f(x) = ln left( dfrac(x - 1)^x - 23 - x ight) = (x - 2)ln (x - 1) - ln (3 - x) hfill \ Rightarrow f"(x) = ln (x - 1) + fracx - 2x - 1 + frac13 - x Rightarrow f""(x) = frac1x - 1 + frac1(x - 1)^2 + frac1(x - 3)^2 hfill \ Rightarrow f"""(x) = - frac1(x - 1)^2 - frac2(x - 1)^3 - frac2(x - 3)^3 hfill \ Rightarrow f^(4)(x) = frac2(x - 1)^3 + frac6(x - 1)^4 + frac6(x - 3)^4 hfill \ Rightarrow f(2) = 0;f"(2) = 1;f""(2) = 3;f"""(2) = - 1;f^(4)(2) = 14 hfill \ Rightarrow f(x) = (x - 2) + frac32(x - 2)^2 - frac16(x - 2)^3 + frac712(x - 2)^4 + oleft( (x - 3)^4 ight). hfill \ endgathered $

4. Ứng dụng khai triển Taylor tính giới hạn của hàm số

Ví dụ 1: Tìm số thực $a$ làm sao cho $undersetx o 0mathoplim ,dfracln (ax^2+x+1)-xx^2=1.$

Giải.Cách 1: cần sử dụng Lôpitan có

$undersetx o 0mathoplim ,dfracln (ax^2+x+1)-xx^2=undersetx o 0mathoplim ,fracdfrac2ax+1ax^2+x+1-12x=undersetx o 0mathoplim ,dfrac(2a-1)x-ax^22x(ax^2+x+1)=undersetx o 0mathoplim ,dfrac2a-1-ax2(ax^2+x+1)=dfrac2a-12.$

Vậy $dfrac2a-12=1Leftrightarrow a=dfrac32.$

5. Ứng dụng khai triển Taylor vào các dạng việc khác

Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x)$ khẳng định và có đạo hàm cấp 2 thường xuyên trên đoạn $<0;1>$ hợp ý $f(0)=f(1)$ và $left| f""(x) ight|le A,forall xin <0;1>.$ chứng tỏ rằng $left| f"(x) ight|le dfracA2,forall xin <0;1>.$

Giải. Khai triển Taylor với phần dư dạng lagrange có:

$eginarrayl f(0) = f(x) + f(x) + f"(x)(0 - x) + dfracf""(a)2(0 - x)^2;\ f(1) = f(x) + f"(x)(1 - x) + dfracf""(b)2(1 - x)^2. endarray$

Với $a$ là số thực nằm trong lòng $0$ cùng $x;b$ là số thực nằm giữa $1$ với $x.$

Kết hợp đưa thiết bao gồm

<eginarrayc left| f"(x) ight| = left| dfracf""(a)2x^2 - dfracf""(b)2(1 - x)^2 ight|\ le left| dfracf""(a)2x^2 ight| + left| dfracf""(b)2(1 - x)^2 ight|\ le dfracAx^22 + dfracA(1 - x)^22 = fracA2(2x^2 - 2x + 1) = dfracA2(2x(x - 1) + 1) le dfracA2,forall x in <0;1>. endarray>

Ví dụ 2: Cho $f:left< 0,1 ight> o mathbbR$là hàm khả vi gấp đôi so cho với đa số $xin left< 0,1 ight>$thì $f""(x)le 1$. Minh chứng rằng

$f(0)-2fleft( frac12 ight)+f(1)le frac14$.

Giải. Để ý cho đại lượng $f(0),f(1)$ và $2fleft( frac12 ight)$ điều đó làm ta để ý đến đến khai triển Tayor trên $x_0=frac12$.

Khai triển Taylor ta được

$f(0)=fleft( frac12 ight)-frac12f"left( frac12 ight)+frac18f""(x_1),x_1in left( 0,frac12 ight)$ ,

$f(1)=fleft( frac12 ight)+frac12f"left( frac12 ight)+frac18f""(x_2),x_2in left( frac12,1 ight)$.

cộng theo vế hai đẳng thức bên trên ta được $f(0)-2fleft( frac12 ight)+f(1)=frac18left( f""(x_1)+f""(x_2) ight)le frac14$.

Bài toán được bệnh minh.

Ví dụ 3: Cho $f:left< 0,1 ight> o mathbbR$khả vi cấp cho 2 trên $left< 0,1 ight>$ thỏa mãn nhu cầu $f(0)=f(1)=a$ và $undersetxin left< 0,1 ight>mathopmin ,f(x)=b$. Chứng minh rằng

mathop extmax,f""(x)ge 8left( a-b ight)>.

Giải. Do $f$ liên tục trên $left< 0,1 ight>$ đề nghị tồn tại $x_0in left< 0,1 ight>$ sao cho $f(x_0)=undersetxin left< 0,1 ight>mathopmin ,f(x)=b$. Theo định lý Fermat thì $f"(x_0)=0$. Triển khai Taylor ta được

$a=f(0)=f(x_0)+f"(x_0)left( 0-x_0 ight)+fracf""(x_1)2x_0^2Rightarrow a-b=fracf""(x_1)2x_0^2$ cùng với $x_1in left( 0,x_0 ight)$

Ví dụ 4: Cho $f:mathbbR o mathbbR$là hàm khả vi cùng với đạo hàm cấp 2 dương. Chứng tỏ rằng

$fleft( x+f"(x) ight)ge f(x)$ với đa số số thực $x$.

Giải. Khai triển Taylor tại $x_0=x$ ta được

$fleft( x+f"(x) ight)=f(x)+f"(x)left( x+f"(x)-x ight)+fracf""(delta x)2left( x+f"(x)-x ight)^2$.

Suy ra $fleft( x+f"(x) ight)-f(x)=left( f"(x) ight)^2+fracf""(delta x)2left( f"(x) ight)^2ge 0$.

Bài toán được minh chứng hoàn toàn.

Xem thêm: Cách Đổi Ảnh Đại Diện Trên Zoom Trên Điện Thoại, Máy Tính Đơn Giản

6. Ứng dụng triển khai Taylor để tính đạo hàm cấp cao tại điểm x=0.

Ví dụ 1: triển khai Mac – Laurin của hàm số từ kia tính đạo hàm $f^2019(0).$

Áp dụng cách làm $e^x=1+fracx1!+fracx^22!+fracx^33!+...+fracx^nn!+o(x^n)$ ta có

$egingathered f(x) = left( x^3 + 1 ight)e^x^3 = x^3e^x^3 + e^x^3 \ = x^3left( 1 + fracx^31! + fracx^62! + fracx^93! + ... + fracx^3n - 3(n - 1)! + o(x^3n - 3) ight) + left( 1 + fracx^31! + fracx^62! + fracx^93! + ... + fracx^3n(n - 1)! + o(x^3n) ight) \ = 1 + 2x^3 + frac32x^6 + frac23x^9 + ... + left( frac1(n - 1)! + frac1n! ight)x^3n + o(x^3n). \ endgathered $

Do đó $fracf^(3n)(0)(3n)!=frac1(n-1)!+frac1n!Rightarrow f^(2019)(0)=2019!left( frac1672!+frac1673! ight).$

Ví dụ 2:Khai triển Mac – Laurin của hàm số từ đó tính đạo hàm $f^2020(0).$

Áp dụng phương pháp $cos x=1-fracx^22!+fracx^44!-...+frac(-1)^n(2n)!x^2n+o(x^2n).$

Ta có

$egingathered f(x) = (x^2 + 1)cos x = x^2cos x + cos x \ = x^2left( 1 - fracx^22! + fracx^44! - ... + frac( - 1)^n - 1x^2n - 2(2n - 2)! + o(x^2n - 2) ight) + left( 1 - fracx^22! + fracx^44! - ... + frac( - 1)^nx^2n(2n)! + o(x^2n) ight) \ = 1 - frac12x^2 - frac1124x^4 + ... + left( frac( - 1)^n(2n)! + frac( - 1)^n - 1(2n - 2)! ight)x^2n + o(x^2n). \ endgathered $

Do kia $fracf^(2n)(0)(2n)!=frac(-1)^n(2n)!+frac(-1)^n-1(2n-2)!Rightarrow f^(2020)(0)=2020!left( frac12020!-frac12018! ight).$

Ví dụ 3: khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=ln left( 1+x^2 ight)$ từ kia tính $f^(2020)(0).$

Áp dụng công thức: $ln (1+x)=x-fracx^22+fracx^33-...+frac(-1)^n-1x^nn+o(x^n).$

Do kia $f(x)=ln left( 1+x^2 ight)=x^2-fracx^42+fracx^63-...+frac(-1)^n-1x^2nn+o(x^2n)Rightarrow fracf^(2n)(0)(2n)!=frac(-1)^n-1nRightarrow f^(2020)(0)=-frac2020!1010.$

7. Ứng dụng triển khai Taylor cùng với phần dư dạng Lagrange tính gần giá chuẩn trị biểu thức