1. Khai triển Taylor đối với đa thức
Xét nhiều thức $P(x)=a_nx^n+a_n-1x^n-1+...+a_1x+a_0,$ khi ấy với điểm $x_0$ bất cứ ta có
$P(x)=P(x_0)+fracP"(x_0)1!(x-x_0)+fracP""(x_0)2!(x-x_0)^2+...+fracP^(n)(x_0)n!(x-x_0)^n.$
Ví dụ 1: Khai triển $P(x)=x^3+x-1$ theo luỹ quá nguyên dương của $x-1.$
Giải. Có $P"(x)=3x^2+1,P""(x)=6x,P"""(x)=6.$ Vậy
$eginarrayc P(x) = P(1) + fracP"(1)1!(x - 1) + fracP""(1)2!(x - 1)^2 + fracP"""(1)3!(x - 1)^3\ = 1 + frac41!(x - 1) + frac62!(x - 1)^2 + frac63!(x - 1)^3\ = 1 + 4(x - 1) + 3(x - 1)^2 + (x - 1)^3. endarray$
Ví dụ 2: Khai triển nhiều thức $P(x)=x^5+x^3-3x^2+1$ theo luỹ vượt nguyên dương của $x-1.$
Giải. Có $left{ eginarrayl P(x) = x^5 + x^3 - 3x^2 + 1\ P"(x) = 5x^4 + 3x^2 - 6x\ P""(x) = 20x^3 + 6x - 6\ P"""(x) = 60x^2 + 6\ P^(4)(x) = 120x\ P^(5)(x) = 120 endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl P(1) = 0\ P"(1) = 2\ P""(1) = 20\ P"""(1) = 66\ P^(4)(1) = 120\ P^(5)(1) = 120 endarray ight..$ Vậy
$eginarrayc P(x) = frac21!(x - 1) + frac202!(x - 1)^2 + frac663!(x - 1)^3 + frac1204!(x - 1)^4 + frac1205!(x - 1)^5\ = 2(x - 1) + 10(x - 1)^2 + 11(x - 1)^3 + 5(x - 1)^4 + (x - 1)^5. endarray$
2. Triển khai Taylor so với hàm số bất kì
Khai triển Taylor cùng với phần dư dạng Peano
Giả sử hàm số $f(x)$ bao gồm đạo hàm đến cấp cho $n$ trong lân cận $(x_0-delta ;x_0+delta )$ của điểm $x_0.$ lúc đó:
$f(x)=f(x_0)+fracf"(x_0)1!(x-x_0)+fracf""(x_0)2!(x-x_0)^2+...+fracf^(n)(x_0)n!(x-x_0)^n+oleft< (x-x_0)^n ight>.$
công thức trên được hotline là phương pháp khai triển Taylor của hàm số $f(x)$ mang đến bậc $n$ trên điểm $x_0$ với phần dư dạng Peano.
Bạn đang xem: Khai triển cos2x
$r(x)=oleft< (x-x_0)^n ight>$ được điện thoại tư vấn là phần dư cùng được call là phần dư dạng peano.
Khai triển Mac – Laurin
Trong công thức khai triển Taylor với phần dư dạng peano khi $x_0=0,$ ta có
$f(x)=f(0)+fracf"(0)1!x+fracf""(0)2!x^2+...+fracf^(n)(0)n!x^n+o(x^n).$
công thức này được hotline là công thức khai triển Mac – Laurin
Khai triển Taylor với phần dư dạng Lagrange
Giả sử hàm số $f(x)$ bao gồm đạo hàm đến cung cấp $n+1$ trong kề bên $(x_0-delta ;x_0+delta )$ của điểm $x_0.$ khi đó:
$f(x)=f(x_0)+fracf"(x_0)1!(x-x_0)+fracf""(x_0)2!(x-x_0)^2+...+fracf^(n)(x_0)n!(x-x_0)^n+fracf^(n+1)(c)(n+1)!(x-x_0)^n+1,$ trong các số đó $c$ là điểm nào đó nằm giữa $x$ cùng $x_0.$
công thức bên trên được call là phương pháp khai triển Taylor của hàm số $f(x)$ mang lại bậc $n$ tại điểm $x_0$ với phần dư dạng lagrange.
$r(x)=fracf^(n+1)(c)(n+1)!(x-x_0)^n+1,$ được điện thoại tư vấn là phần dư dạng Lagrange.
3. Khai triển Mac - Laurin của một số trong những hàm sơ cung cấp hay dùng
$y=e^xRightarrow y^(n)(x)=e^xRightarrow y^(n)(0)=1Rightarrow e^x=1+fracx1!+fracx^22!+fracx^33!+...+fracx^nn!+o(x^n).$$y = sin x Rightarrow y^(n)(x) = sin left( x + fracnpi 2 ight) Rightarrow y^(n)(0) = sin fracnpi 2 = left{ eginarrayl 0,n = 2k\ ( - 1)^k,n = 2k + 1 endarray ight..$Vậy $sin x=x-fracx^33!+fracx^55!-...+frac(-1)^n(2n+1)!x^2n+1+o(x^2n+1).$
$y = cos x Rightarrow y^(n)(x) = cos xleft( x + fracnpi 2 ight) Rightarrow y^(n)(0) = cos fracnpi 2 = left{ eginarrayl ( - 1)^k,n = 2k\ 0,n = 2k + 1 endarray ight..$Vậy $cos x=1-fracx^22!+fracx^44!-...+frac(-1)^n(2n)!x^2n+o(x^2n).$
$y=ln (1+x)Rightarrow y^(n)(x)=frac(-1)^n-1(n-1)!(x+1)^nRightarrow y^(n)(0)=(-1)^n-1(n-1)!.$Vậy$ln (1 + x) = x - fracx^22 + fracx^33 - ... + frac( - 1)^n - 1x^nn + o(x^n).$
$y=frac1x+1Rightarrow y^(n)(x)=frac(-1)^nn!(x+1)^n+1Rightarrow y^(n)(0)=(-1)^nn!.$Vậy $frac1x+1=1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+o(x^n).$
Ví dụ 1: Khai triển Taylor đến cấp 2 tại điểm $x=frac12$ cùng với phần dư dạng peano của hàm số $f(x)=arcsin x.$
Giải. Có $fleft( frac12 ight)=arcsin frac12=fracpi 6$ cùng $f"(x)=frac1sqrt1-x^2Rightarrow f"left( frac12 ight)=frac2sqrt3$ với $f""(x)=fracxsqrt(1-x^2)^3Rightarrow f""left( frac12 ight)=frac43sqrt3.$
Vậy $f(x)=fracpi 6+frac2sqrt3(x-1)+frac23sqrt3(x-1)^2+oleft< (x-1)^2 ight>.$
Ví dụ 2: Khai triển Taylor đến cung cấp 5 tại điểm $x=1$ với phần dư dạng peano của hàm số $f(x)=(x-1)^3arccos (x-1).$
Giải. Ta khai triển Taylor đến cung cấp 2 trên điểm $x=1$ cùng với phần dư dạng peano của hàm số $g(x)=arccos (x-1).$
Có $g(1)=arccos 0=fracpi 2$ và $g"(x)=-frac1sqrt1-(x-1)^2=-frac1sqrt2x-x^2Rightarrow g"(1)=-1$ với $g""(x)=frac1-xsqrt(2x-x^2)^3Rightarrow g""(1)=0.$ Suy ra $g(x)=fracpi 2-(x-1)+oleft< (x-1)^2 ight>.$
Vậy $f(x)=(x-1)^3g(x)=fracpi 2(x-1)^3-(x-1)^4+oleft< (x-1)^5 ight>.$
Ví dụ 3: Khai triển hàm số $f(x)=sqrt<3>x+7$ theo luỹ quá của $x-1$ cho bậc 3 với phần dư dạng peano.
Giải. Ta có
$eginarrayl f(1) = 2;\ f"(x) = frac13(x + 7)^ - frac23 Rightarrow f"(1) = frac112;\ f""(x) = - frac29(x + 7)^ - frac53 Rightarrow f""(1) = - frac1144;\ f"""(x) = frac1027(x + 7)^ - frac83 Rightarrow f"""(1) = frac53456. endarray$
Vậy $f(x)=2+frac112(x-1)-frac1288(x-1)^2+frac520736(x-1)^3+oleft< (x-1)^3 ight>.$
Ví dụ 4: Khai triển Mac – Laurin đến cấp 4 của hàm số $f(x)=intlimits_0^xln (1+t)dt.$
Giải. Ta có
$eginarrayl f(0) = 0;\ f"(x) = ln (1 + x) Rightarrow f"(0) = 0;\ f""(x) = frac11 + x Rightarrow f""(0) = 1;\ f"""(x) = - frac1(1 + x)^2 Rightarrow f"""(0) = - 1;\ f^(4)(x) = frac2(1 + x)^3 Rightarrow f^(4)(0) = 2. endarray$
Vậy $f(x)=frac12x^2-frac16x^3+frac112x^4+o(x^4).$
Ví dụ 5: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=x^2sin 2x+3.$
Giải. Có $g(x)=sin 2x=2x-frac(2x)^33!+frac(2x)^55!-...+frac(-1)^n-1(2n-1)!(2x)^2n-1+o(x^2n-1).$
Vậy $f(x)=x^2g(x)+3=3+2x^3-frac2^33!x^5+frac2^55!x^5-...+frac(-1)^n-12^2n-1(2n-1)!x^2n+1+o(x^2n+1).$
Ví dụ 6: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=dfrac12x+3.$
Giải. Ta có
<eginarrayl f(0) = frac13;\ f"(x) = - frac2(2x + 3)^2 Rightarrow f"(0) = - frac29;\ f""(x) = frac8(2x + 3)^3 Rightarrow f""(0) = frac827;\ f"""(x) = - frac48(2x + 3)^4 Rightarrow f"""(0) = - frac1627;\ ...\ f^(n)(x) = frac( - 2)^n.n!(2x + 3)^n + 1 Rightarrow f^(n)(x) = frac( - 2)^n.n!3^n + 1. endarray>
Vậy $f(x)=frac13-frac29x+frac827x^2-frac1627x^3+...+frac(-2)^n.n!3^n+1x^n+o(x^n).$
Ví dụ 7: Khai triển Taylor theo những luỹ thừa của $x-1$ mang đến bậc ba của hàm số $f(x)=dfrac1sqrtx.$
Giải. Ta có
$eginarrayl f(x) = frac1sqrt x Rightarrow f(1) = 1;\ f"(x) = - frac12x^ - frac32 Rightarrow f"(1) = - frac12;\ f""(x) = frac34x^ - frac52 Rightarrow f""(1) = frac34;\ f"""(x) = - frac158x^ - frac72 Rightarrow f"""(1) = - frac158. endarray$
Vậy $f(x)=1-frac12(x-1)+frac38(x-1)^2-frac516(x-1)^3+oleft< (x-1)^3 ight>.$
Ví dụ 8: Khai triển Taylor theo theo luỹ quá của $x-1$ mang đến bậc cha của hàm số $f(x)=x^x-1.$
Giải. Ta có
$eginarrayl f(x) = x^x - 1 Rightarrow f(1) = 0;\ f(x) = e^xln x - 1 Rightarrow f"(x) = left( ln x + 1 ight)e^xln x Rightarrow f"(1) = 1;\ f""(x) = frac1xe^xln x + left( ln x + 1 ight)^2e^xln x Rightarrow f""(1) = 2;\ f"""(x) = - frac1x^2e^xln x + frac1xleft( ln x + 1 ight)e^xln x + frac2x(ln x + 1)e^xln x + left( ln x + 1 ight)^3e^xln x Rightarrow f"""(1) = 3. endarray$
Vậy $f(x)=(x-1)+(x-1)^2+frac12(x-1)^3+oleft< (x-1)^3 ight>.$
Ví dụ 9: Khai triển Taylor theo theo luỹ thừa của $x-2$ cho bậc bố của hàm số $f(x)=dfracxx-1.$
Giải. Ta có:
$eginarrayl f(x) = fracxx - 1 Rightarrow f(2) = 2;\ f(x) = frac(x - 1) + 1x - 1 = 1 + frac1x - 1 Rightarrow f"(x) = - frac1(x - 1)^2 Rightarrow f"(2) = - 1;\ f""(x) = frac2(x - 1)^3 Rightarrow f""(2) = 2;\ f"""(x) = - frac6(x - 1)^4 Rightarrow f"""(2) = - 6. endarray$
Vậy $f(x)=2-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+oleft< (x-1)^3 ight>.$
Ví dụ 10: Khai triển Taylor theo theo luỹ quá của $x-1$ mang lại bậc cha của hàm số $f(x)=ln (1-x+x^2).$
Giải.
$eginarrayl f(x) = ln (1 - x + x^2) Rightarrow f(1) = 0;\ f"(x) = dfrac2x - 1x^2 - x + 1 Rightarrow f"(1) = 1;\ f""(x) = - dfrac2x^2 - 2x - 1(x^2 - x + 1)^2 Rightarrow f""(1) = 1;\ f"""(x) = dfrac2(2x - 1)(x^2 - x - 2)(x^2 - x + 1)^3 Rightarrow f"""(1) = - 4. endarray$
Vậy $f(x)=(x-1)+dfrac(x-1)^22-dfrac2(x-1)^33+oleft< (x-1)^3 ight>.$
Ví dụ 11: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=e^-dfracx^22.$
Giải. Xét $g(x)=e^x$ ta có $g(x)=e^xRightarrow g(0)=1;g^(n)(x)=e^xRightarrow g^(n)(0)=1.$
Vậy $g(x)=1+fracx1!+fracx^22!+fracx^33!+...+fracx^nn!+o(x^n).$
Suy ra $f(x)=gleft( -fracx^22 ight)=1-fracx^21!.2^1+fracx^42!.2^2-fracx^63!.2^3+...+frac(-1)^nx^2nn!.2^n+o(x^2n).$
Ví dụ 12: Khai triển Mac – Laurin mang đến luỹ thừa bậc 3 của $x$ của hàm số $f(x)=e^sin x.$
Giải. Ta có:
$eginarrayl f(x) = e^sin x Rightarrow f(0) = 1;\ f"(x) = cos xe^sin x Rightarrow f"(0) = 1;\ f""(x) = - sin xe^sin x + cos ^2xe^sin x Rightarrow f""(0) = 1;\ f"""(x) = - cos xe^sin x - sin xcos xe^sin x - 2cos xsin xe^sin x + cos ^3xe^sin x Rightarrow f"""(0) = 0. endarray$
Vậy $f(x)=1+x+fracx^22+o(x^3).$
Ví dụ 13: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=e^ an x$ mang lại bậc 5 của $x.$
Giải. Có $f(x)=1+x+fracx^22+fracx^32+frac3x^48+o(x^5).$
Ví dụ 14: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $y=xsin x^2$ đến luỹ thừa $x^11.$
Giải. Có $sin x=x-fracx^33!+fracx^55!+o(x^5).$
Suy ra $sin x^2=x^2-fracx^63!+fracx^105!+o(x^10).$
Vì vậy $xsin x^2=x^3-fracx^73!+fracx^115!+o(x^11).$
Ví dụ 15:Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=dfracx^2+5x^2+x-12.$
Có $egingathered f(x) = fracx^2 + 5x^2 + x - 12 = 1 + frac2x - 3 - frac3x + 4 = 1 - frac23frac11 - fracx3 - frac34frac11 + fracx4 \ = 1 - frac23left( 1 - left( - fracx3 ight) + left( - fracx3 ight)^2 - ... + ( - 1)^nleft( - fracx3 ight)^n + o(x^n) ight) - frac34left( 1 - left( fracx4 ight) + left( fracx4 ight)^2 - ... + ( - 1)^nleft( fracx4 ight)^n + o(x^n) ight) \ = - frac512 - frac5144x - frac2091728x^2 - ... + ( - 1)^nleft( - frac23left( - frac13 ight)^n - frac34left( frac14 ight)^n ight)x^n + o(x^n). \ endgathered $
Ví dụ 16:Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=cos ^3x.$
Có $egingathered f(x) = cos ^3x = frac14cos 3x + frac34cos x \ = frac14left( 1 - fracleft( 3x ight)^22! + fracleft( 3x ight)^44! - ... + frac( - 1)^nleft( 3x ight)^2n(2n)! + o(x^2n) ight) + frac34left( 1 - fracx^22! + fracx^44! - ... + frac( - 1)^nx^2n(2n)! + o(x^2n) ight) \ = 1 - frac32x^2 + frac78x^4 - ... + ( - 1)^nfrac9^n + 34(2n)!x^2n + o(x^2n). \ endgathered $
Ví dụ 17:Khai triển Taylor của hàm số $f(x)=ln left( dfrac(x-1)^x-23-x ight)$ đếp cung cấp 4 của $x-2$ cùng với phần dư dạng Peano.
Có $egingathered f(x) = ln left( dfrac(x - 1)^x - 23 - x ight) = (x - 2)ln (x - 1) - ln (3 - x) hfill \ Rightarrow f"(x) = ln (x - 1) + fracx - 2x - 1 + frac13 - x Rightarrow f""(x) = frac1x - 1 + frac1(x - 1)^2 + frac1(x - 3)^2 hfill \ Rightarrow f"""(x) = - frac1(x - 1)^2 - frac2(x - 1)^3 - frac2(x - 3)^3 hfill \ Rightarrow f^(4)(x) = frac2(x - 1)^3 + frac6(x - 1)^4 + frac6(x - 3)^4 hfill \ Rightarrow f(2) = 0;f"(2) = 1;f""(2) = 3;f"""(2) = - 1;f^(4)(2) = 14 hfill \ Rightarrow f(x) = (x - 2) + frac32(x - 2)^2 - frac16(x - 2)^3 + frac712(x - 2)^4 + oleft( (x - 3)^4 ight). hfill \ endgathered $
4. Ứng dụng khai triển Taylor tính giới hạn của hàm số
Ví dụ 1: Tìm số thực $a$ làm sao cho $undersetx o 0mathoplim ,dfracln (ax^2+x+1)-xx^2=1.$
Giải.Cách 1: cần sử dụng Lôpitan có
$undersetx o 0mathoplim ,dfracln (ax^2+x+1)-xx^2=undersetx o 0mathoplim ,fracdfrac2ax+1ax^2+x+1-12x=undersetx o 0mathoplim ,dfrac(2a-1)x-ax^22x(ax^2+x+1)=undersetx o 0mathoplim ,dfrac2a-1-ax2(ax^2+x+1)=dfrac2a-12.$
Vậy $dfrac2a-12=1Leftrightarrow a=dfrac32.$
5. Ứng dụng khai triển Taylor vào các dạng việc khác
Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x)$ khẳng định và có đạo hàm cấp 2 thường xuyên trên đoạn $<0;1>$ hợp ý $f(0)=f(1)$ và $left| f""(x) ight|le A,forall xin <0;1>.$ chứng tỏ rằng $left| f"(x) ight|le dfracA2,forall xin <0;1>.$
Giải. Khai triển Taylor với phần dư dạng lagrange có:
$eginarrayl f(0) = f(x) + f(x) + f"(x)(0 - x) + dfracf""(a)2(0 - x)^2;\ f(1) = f(x) + f"(x)(1 - x) + dfracf""(b)2(1 - x)^2. endarray$
Với $a$ là số thực nằm trong lòng $0$ cùng $x;b$ là số thực nằm giữa $1$ với $x.$
Kết hợp đưa thiết bao gồm
<eginarrayc left| f"(x) ight| = left| dfracf""(a)2x^2 - dfracf""(b)2(1 - x)^2 ight|\ le left| dfracf""(a)2x^2 ight| + left| dfracf""(b)2(1 - x)^2 ight|\ le dfracAx^22 + dfracA(1 - x)^22 = fracA2(2x^2 - 2x + 1) = dfracA2(2x(x - 1) + 1) le dfracA2,forall x in <0;1>. endarray>
Ví dụ 2: Cho $f:left< 0,1 ight> o mathbbR$là hàm khả vi gấp đôi so cho với đa số $xin left< 0,1 ight>$thì $f""(x)le 1$. Minh chứng rằng
$f(0)-2fleft( frac12 ight)+f(1)le frac14$.
Giải. Để ý cho đại lượng $f(0),f(1)$ và $2fleft( frac12 ight)$ điều đó làm ta để ý đến đến khai triển Tayor trên $x_0=frac12$.
Khai triển Taylor ta được
$f(0)=fleft( frac12 ight)-frac12f"left( frac12 ight)+frac18f""(x_1),x_1in left( 0,frac12 ight)$ ,
và
$f(1)=fleft( frac12 ight)+frac12f"left( frac12 ight)+frac18f""(x_2),x_2in left( frac12,1 ight)$.
cộng theo vế hai đẳng thức bên trên ta được $f(0)-2fleft( frac12 ight)+f(1)=frac18left( f""(x_1)+f""(x_2) ight)le frac14$.
Bài toán được bệnh minh.
Ví dụ 3: Cho $f:left< 0,1 ight> o mathbbR$khả vi cấp cho 2 trên $left< 0,1 ight>$ thỏa mãn nhu cầu $f(0)=f(1)=a$ và $undersetxin left< 0,1 ight>mathopmin ,f(x)=b$. Chứng minh rằng
Giải. Do $f$ liên tục trên $left< 0,1 ight>$ đề nghị tồn tại $x_0in left< 0,1 ight>$ sao cho $f(x_0)=undersetxin left< 0,1 ight>mathopmin ,f(x)=b$. Theo định lý Fermat thì $f"(x_0)=0$. Triển khai Taylor ta được
$a=f(0)=f(x_0)+f"(x_0)left( 0-x_0 ight)+fracf""(x_1)2x_0^2Rightarrow a-b=fracf""(x_1)2x_0^2$ cùng với $x_1in left( 0,x_0 ight)$
Ví dụ 4: Cho $f:mathbbR o mathbbR$là hàm khả vi cùng với đạo hàm cấp 2 dương. Chứng tỏ rằng
$fleft( x+f"(x) ight)ge f(x)$ với đa số số thực $x$.
Giải. Khai triển Taylor tại $x_0=x$ ta được
$fleft( x+f"(x) ight)=f(x)+f"(x)left( x+f"(x)-x ight)+fracf""(delta x)2left( x+f"(x)-x ight)^2$.
Suy ra $fleft( x+f"(x) ight)-f(x)=left( f"(x) ight)^2+fracf""(delta x)2left( f"(x) ight)^2ge 0$.
Bài toán được minh chứng hoàn toàn.
Xem thêm: Cách Đổi Ảnh Đại Diện Trên Zoom Trên Điện Thoại, Máy Tính Đơn Giản
Ví dụ 1: triển khai Mac – Laurin của hàm số từ kia tính đạo hàm $f^2019(0).$
Áp dụng cách làm $e^x=1+fracx1!+fracx^22!+fracx^33!+...+fracx^nn!+o(x^n)$ ta có
$egingathered f(x) = left( x^3 + 1 ight)e^x^3 = x^3e^x^3 + e^x^3 \ = x^3left( 1 + fracx^31! + fracx^62! + fracx^93! + ... + fracx^3n - 3(n - 1)! + o(x^3n - 3) ight) + left( 1 + fracx^31! + fracx^62! + fracx^93! + ... + fracx^3n(n - 1)! + o(x^3n) ight) \ = 1 + 2x^3 + frac32x^6 + frac23x^9 + ... + left( frac1(n - 1)! + frac1n! ight)x^3n + o(x^3n). \ endgathered $
Do đó $fracf^(3n)(0)(3n)!=frac1(n-1)!+frac1n!Rightarrow f^(2019)(0)=2019!left( frac1672!+frac1673! ight).$
Ví dụ 2:Khai triển Mac – Laurin của hàm số từ đó tính đạo hàm $f^2020(0).$
Áp dụng phương pháp $cos x=1-fracx^22!+fracx^44!-...+frac(-1)^n(2n)!x^2n+o(x^2n).$
Ta có
$egingathered f(x) = (x^2 + 1)cos x = x^2cos x + cos x \ = x^2left( 1 - fracx^22! + fracx^44! - ... + frac( - 1)^n - 1x^2n - 2(2n - 2)! + o(x^2n - 2) ight) + left( 1 - fracx^22! + fracx^44! - ... + frac( - 1)^nx^2n(2n)! + o(x^2n) ight) \ = 1 - frac12x^2 - frac1124x^4 + ... + left( frac( - 1)^n(2n)! + frac( - 1)^n - 1(2n - 2)! ight)x^2n + o(x^2n). \ endgathered $
Do kia $fracf^(2n)(0)(2n)!=frac(-1)^n(2n)!+frac(-1)^n-1(2n-2)!Rightarrow f^(2020)(0)=2020!left( frac12020!-frac12018! ight).$
Ví dụ 3: khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=ln left( 1+x^2 ight)$ từ kia tính $f^(2020)(0).$
Áp dụng công thức: $ln (1+x)=x-fracx^22+fracx^33-...+frac(-1)^n-1x^nn+o(x^n).$
Do kia $f(x)=ln left( 1+x^2 ight)=x^2-fracx^42+fracx^63-...+frac(-1)^n-1x^2nn+o(x^2n)Rightarrow fracf^(2n)(0)(2n)!=frac(-1)^n-1nRightarrow f^(2020)(0)=-frac2020!1010.$
7. Ứng dụng triển khai Taylor cùng với phần dư dạng Lagrange tính gần giá chuẩn trị biểu thức