Cho khoảng tầm K chứa điểm $x_o$ cùng hàm số $y = fleft( x ight)$ xác định trên K hoặc $Kackslash left x_o ight$.
Ta nói hàm số$y = fleft( x ight)$ có giới hạn là số L khi x dần tới $x_o$nếu với dãy số $left( x_n ight)$ bất kì, $x_n o x_0$, ta gồm $fleft( x_n ight) o L$.
Kí hiệu: $mathop lim limits_x o x_o fleft( x ight) = L$ tốt $fleft( x ight) = L$ khi $x o x_o$.
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
* Định lí 1
a) đưa sử $mathop lim limits_x o x_o fleft( x ight) = L$ cùng $mathop lim limits_x o x_o gleft( x ight) = M$. Lúc đó:
$eginarrayl mathop lim limits_x o x_o left< fleft( x ight) + gleft( x ight) ight> = L + M\ mathop lim limits_x o x_o left< fleft( x ight) - gleft( x ight) ight> = L - M\ mathop lim limits_x o x_o left< fleft( x ight).gleft( x ight) ight> = L.M\ mathop lim limits_x o x_o left< fracfleft( x ight)gleft( x ight) ight> = fracLMleft( M e 0 ight) endarray$.
b) ví như $fleft( x ight) ge 0$ và$mathop lim limits_x o x_o fleft( x ight) = L$, thì:
$L ge 0$ và $mathop lim limits_x o x_o sqrt fleft( x ight) = sqrt L$
(Dấu của $fleft( x ight)$ được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với $x e x_o$).
3, số lượng giới hạn một mặt
* Định nghĩa
Cho hàm số $y = fleft( x ight)$ khẳng định trên khoảng $left( x_o;b ight)$.
Số L được call là giới hạn bên yêu cầu của hàm số $y = fleft( x ight)$ lúc $x o x_o$ nếu như với hàng số $left( x_n ight)$ bất kì, $x_0
Kí hiệu: $mathop lim limits_x o x_0^ + fleft( x ight) = L$.
Cho hàm số$y = fleft( x ight)$ xác định trên khoảng $left( a;x_o ight)$.
Số L được gọi là giới hạn phía bên trái của hàm số $y = fleft( x ight)$ $x o x_o$ ví như với hàng số $left( x_n ight)$ bất kì, $a $x_n o x_0$, ta bao gồm $fleft( x_n ight) o L$..
Kí hiệu: $mathop lim limits_x o x_0^ - fleft( x ight) = L$.
* Định lí 2
$mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = L$ khi còn chỉ khi $mathop lim limits_x o x_0^ - fleft( x ight) = mathop lim limits_x o x_0^ + fleft( x ight) = L$.
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
* Định nghĩa
a) đến hàm số$y = fleft( x ight)$ xác minh trên khoảng chừng $left( a; + infty ight)$.
Ta nói hàm số$y = fleft( x ight)$ có số lượng giới hạn là L khi $x o + infty$ trường hợp với dãy số $left( x_n ight)$ bất kì, $x_n > a$ và $x_n o + infty$, ta bao gồm $fleft( x_n ight) o L$.
Kí hiệu: $mathop lim limits_x o + infty fleft( x ight) = L$ giỏi $fleft( x ight) o L$ khi $x o + infty$.
b) mang lại hàm số$y = fleft( x ight)$ xác minh trên khoảng $left( - infty ;a ight)$.
Ta nói hàm số$y = fleft( x ight)$ có số lượng giới hạn là L khi $x o - infty$ nếu như với hàng số $left( x_n ight)$ bất kì, $x_n $fleft( x_n ight) o L$.
Kí hiệu: $mathop lim limits_x o - infty fleft( x ight) = L$ hay$fleft( x ight) o L$ khi $x o - infty$.
III. Giới hạn vô rất của hàm số
1. Số lượng giới hạn vô rất
* Định nghĩa
Cho hàm số$y = fleft( x ight)$ xác minh trên khoảng$left( a; + infty ight)$.
Ta nói hàm số$y = fleft( x ight)$ có giới hạn là $ - infty$ khi $x o + infty$ trường hợp với hàng số $left( x_n ight)$ bất kì, $x_n > a$ và $x_n o + infty$, ta tất cả $fleft( x_n ight) o - infty$.
Kí hiệu: $mathop lim limits_x o + infty fleft( x ight) = - infty$ tốt $fleft( x ight) o - infty$ lúc $x o + infty$.
2. Một vài số lượng giới hạn đặc biệt
a) $mathop lim limits_x o + infty x^k = + infty$ cùng với k nguyên dương.
b) $mathop lim limits_x o - infty x^k = - infty$ ví như k là số lẻ.
Bạn đang xem: Lim của tích
Xem thêm: Từ Điển Tiếng Việt " Nước Sở Tại Là Gì ? Sở Tại Là Gì, Nghĩa Của Từ Sở Tại
c) $mathop lim limits_x o - infty x^k = + infty$ giả dụ k là số chẵn.
3. Một vài phép tắc về số lượng giới hạn vô cực
a) nguyên tắc tìm số lượng giới hạn của tích $fleft( x ight).gleft( x ight)$
b) nguyên tắc tìm giới hạn của thương $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$