1. Bảng công thức nguyên hàm
a) phương pháp cơ bản
Phần cơ phiên bản này gồm 12 bí quyết nguyên hàm được bố trí thành bảng dưới đây:
b) Nguyên hàm mũ
Với nguyên hàm của hàm nón được chia thành 8 cách làm thuộc 2 chủ đề:
Hàm mũ eHàm mũ
c) Nguyên hàm vị giác
Bảng bí quyết nguyên hàm vị giác này còn có 12 công thức liên tục gặp:
d) cách làm nguyên hàm căn thức
Nguyên hàm của căn thức trước giờ vẫn xem như là khó cần pragamisiones.com vẫn tuyển chọn những bí quyết thường gặp, tiếp nối sắp xếp trường đoản cú căn phiên bản tới nâng cao
2. Bài tập nguyên hàm
a) bài bác tập tất cả lời giải
Câu 1. Hãy tra cứu nguyên hàm $int frac – x^3 + 5x + 24 – x^2dx $
A.$fracx^22 – ln left| 2 – x
ight| + C$.
Bạn đang xem: Nguyên hàm của căn bậc 2
B. $fracx^22 + ln left| 2 – x ight| + C$.
C. $fracx^33 – ln left| 2 – x ight| + C$.
D. $fracx^33 + ln left| x – 2 ight| + C$.
Lời giải
Chọn A
Vì $frac – x^3 + 5x + 24 – x^2$$ = fracx^3 – 5x – 2x^2 – 4$$ = fracleft( x + 2 ight)left( x^2 – 2x – 1 ight)left( x + 2 ight)left( x – 2 ight)$$ = x – frac1x – 2$
$ = int left( x – frac1x – 2 ight) extdx = fracx^22 – ln left| x – 2 ight| + C$. $ Rightarrow int frac – x^3 + 5x + 24 – x^2 extdx $$ = int left( x – frac1x – 2 ight) extdx $$ = fracx^22 – ln left| x – 2 ight| + C$
Câu 2. Tra cứu hàm số $f(x)$ biết rằng $f"(x) = ax + fracbx^2$ thỏa mãn nhu cầu $f’left( 1 ight) = 0; ext fleft( 1 ight) = 4; ext fleft( – 1 ight) = 2$
A. $fleft( x ight) = fracx^22 – frac1x – frac52$.
B. $fleft( x ight) = fracx^22 + frac1x + frac52$.
C. $fleft( x ight) = fracx^22 – frac1x + frac52$.
D. $fleft( x ight) = fracx^22 + frac1x – frac52$.
Lời giải
Chọn B
Vì $f’left( 1 ight) = 0 Rightarrow a + b = 0 ext left( 1 ight)$
Ta lại có $fleft( x ight) = int f’left( x ight) extdx $$ = int left( ax + fracbx^2 ight) extdx $$ = fracax^22 – fracbx + C$
Vì $fleft( 1 ight) = 4$$ Leftrightarrow fraca2 – b + C = 4$$ Leftrightarrow a – 2b + 2C = 8 ext left( 2 ight)$
và $fleft( – 1 ight) = 2 Leftrightarrow fraca2 + b + C = 2 Leftrightarrow a + 2b + 2C = 4 ext left( 3 ight)$
Giải hệ phương trình $left{ eginarrayl a + b = 0\ a – 2b + 2C = 8\ a + 2b + 2C = 4 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl a = 1\ b = – 1\ c = frac52 endarray ight.$
Vậy $fleft( x ight) = fracx^22 + frac1x + frac52$
Câu 3. Quý giá $m,n$ để hàm số $Fleft( x ight) = left( 2m + n ight)x^3 + left( 3m – 2n ight)x^2 – 4x$ là 1 trong những nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = 3x^2 + 10x – 4$. Khi đó $8m – 2n$ là:
A. $6$.
B. $12$.
C. $10$.
D. $ – 2$.
Lời giải
Chọn C
$int left( 3x^2 + 10x – 4 ight)dx = x^3 + 5x^2 – 4x + C $
Khi kia ta gồm $left{ eginarrayl 2m + n = 1\ 3m – 2n = 5\ C = 0 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl m = 1\ n = – 1\ C = 0 endarray ight.$ đề xuất $8m – 2n = 10$.
Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac2sin ^3x1 + cos x$.
A. $int f(x)dx = frac12cos ^2x – 2cos x + C $.
B. $int f(x)dx = cos ^2x – 2cos x + C $.
C. $int f(x)dx = cos ^2x + cos x + C$.
D. $int f(x)dx = frac12cos ^2x + 2cos x + C $.
Lời giải
Chọn B
$int left( frac2sin ^3x1 + cos x ight)dx $ $ = int left( frac2sin x.sin ^2x1 + cos x ight)dx $ $ = int left( frac2sin xleft( 1 – cos ^2x ight)1 + cos x ight) dx$ $ = 2int sin xleft( 1 – cos x ight)dx $ $ = int 2left( cos x – 1 ight)dleft( cos x ight) $$ = cos ^2x – 2cos x + C$
Câu 5. Tra cứu nguyên hàm của hàm số $f(x) = fraccos ^3xsin ^5x$.
A. $int f(x).dx = frac – cot ^4x4 + C$.
B. $int f(x).dx = fraccot ^4x4 + C$.
C. $int f(x).dx = fraccot ^2x2 + C$.
D. $int f(x).dx = frac an ^4x4 + C$.
Lời giải
Chọn A
$int fraccos ^3xdxsin ^5x $ $ = int cot ^3x.fracdxsin ^2x $ $ = – int cot ^3x.dleft( cot x ight) $ $ = frac – cot ^4x4 + C$
Câu 6. tra cứu nguyên hàm của hàm số: $f(x) = cos 2xleft( sin ^4x + cos ^4x ight)$.
A. $int f(x).dx = sin 2x – frac14sin ^32x + C$
B. $int f(x).dx = frac12sin 2x + frac112sin ^32x + C$.
C. $int f(x).dx = frac12sin 2x – frac112sin ^32x + C$.
D. $int f(x).dx = frac12sin 2x – frac14sin ^32x + C$.
Lời giải
Chọn C
$int cos 2xleft( sin ^4x + cos ^4x ight)dx $ $ = int cos 2xleft< left( sin ^2x + cos ^2x ight) – 2sin ^2x.cos ^2x ight>dx $
$ = int cos 2xleft( 1 – frac12sin ^22x ight)dx $ $ = int cos 2xdx – frac12int sin ^22x.cos 2xdx $ $ = int cos 2xdx – frac14int sin ^22x.dleft( sin 2x ight) $ $ = frac12sin 2x – frac112sin ^32x + C$
Câu 7. Search nguyên hàm của hàm số $f(x) = left( an x + e^2sin x ight)cos x$.
A. $int f(x)dx = – cos x + frac12e^2sin x + C$.
B. $int f(x)dx = cos x + frac12e^2sin x + C$.
C. $int f(x)dx = – cos x + e^2sin x + C$.
D. $int f(x)dx = – cos x – frac12e^2sin x + C$.
Lời giải
Chọn A
$int left( an x + e^2sin x ight)cos xdx $ $ = int sin xdx + int e^2sin xdleft( sin x ight) $ $ = – cos x + frac12e^2sin x + C$
b) bài tập trắc nghiệm nguyên hàm trường đoản cú luyện
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = 2x^3 – 9.$
A. $frac12x^4 – 9x + C.$
B. $4x^4 – 9x + C.$
C. $frac14x^4 + C.$
D. $4x^3 + 9x + C.$
Câu 2. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x
ight) = x^2 – frac5x + frac3x^2 – frac13$.
Xem thêm: Đề Thi Trắc Nghiệm Kinh Tế Quốc Tế Có Đáp Án, 332 Câu Trắc Nghiệm Thương Mại Quốc Tế
A. $fracx^33 – 5ln left| x ight| – frac3x – frac13x + C$
B. $fracx^33 – 5ln left| x ight| + frac3x – frac13x + C$
C. $2x^3 – 5ln left| x ight| – frac3x – frac13x + C$
D. $2x – frac5x^2 + frac3xx^4 + C$
Câu 3. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = frac1x^2 – x^2 – frac13$ là:
A. $ – fracx^4 + x^2 + 33x + C$
B. $ – fracx^33 + frac1x – fracx3 + C$
C. $frac – x^4 + x^2 + 33x + C$
D. $ – frac1x – fracx^33 + C$
Câu 4. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = sqrt<3>x$
A. $Fleft( x ight) = frac3sqrt<3>x^24 + C$
B. $Fleft( x ight) = frac3xsqrt<3>x4 + C$
C. $Fleft( x ight) = frac4x3sqrt<3>x + C$
D. $Fleft( x ight) = frac4x3sqrt<3>x^2 + C$
Câu 5. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = frac1xsqrt x $
A. $Fleft( x ight) = frac2sqrt x + C$
B. $Fleft( x ight) = – frac2sqrt x + C$
C. $Fleft( x ight) = fracsqrt x 2 + C$
D. $Fleft( x ight) = – fracsqrt x 2 + C$
Trên đấy là các công thức nguyên hàm lớp 11 được biên soạn từ cơ bạn dạng tới nâng cao. Mong làm giỏi bài tập tuyệt rút gọn gàng biểu thức thì việc học nằm trong lòng những cách làm trong bảng bên trên là cần thiết. Khi nhớ đúng mực mỗi công thức, vận dụng nó một giải pháp thuần thục thì giải bài xích tập trở lên trên nhanh, cho tác dụng chính xác. Nguyên hàm là loài kiến thức bắt đầu học ở lớp 12, còn mới lạ, nhiều công thức, bài bác tập phức tạp. Nói là vậy nhưng nếu như khách hàng chăm học, xem kĩ bài viết này và tiếp tục xem lại những công thức thì nó vẫn trở lên solo giản.