Trong trường phù hợp hệ vô nghiệm thì

*
và
*
song song với nhau hoặc chéo nhau. Nếu
*
cùng phương thì
*
//
*
.

Bạn đang xem: Phương trình đường thẳng 12

3. Vị trí tương đối giữa con đường thẳng với mặt phẳng

Cho mặt phẳng

*
và mặt đường thẳng
*
.

Xét phương trình

*
(ẩnt)(*)


+
*
//
*
vô nghiệm. Khi đó
*
(
*
là một
*
của
*
).
+
*
cắt
*
có đúng một nghiệm.

*
cùng phương (
*
của
*
là một
*
của
*
).


+
*
*
có vô số nghiệm. Khi đó
*
.

Cho đường thẳng

*
đi qua
*
và có
*
và điểm
*
.

*
ight|}" />.


Khoảng cách giữa đường thẳng

*
và phương diện phẳng
*
song tuy vậy với nó bằng khoảng cách từ một điểm
*
bất kì trên
*
đến mặt phẳng
*
.

5. Góc


Cho hai tuyến phố thẳng

*
và
*
có hai
*
lần lượt là
*
và
*
.

Góc giữa hai đường thẳng

*
và
*
bằng hoặc bù với góc thân hai vecto
*
và
*
.

*
,
*
.


Cho mặt đường thẳng

*
có
*
và khía cạnh phẳng
*
có
*
.

Góc giữa mặt đường thẳng

*
và khía cạnh phẳng
*
bằng góc giữa đường thẳng
*
với hình chiếu
*
của nó trên
*
.

*
,
*
.

B. Bài xích tập

Dạng 1. Lập phương trình con đường thẳng biết VTCP
*

A. Phương pháp


B. Bài bác tập ví dụ

Ví dụ 1.1:Trong không khí với hệ tọa độ

*
, đến đường thẳng
*
đi qua điểm
*
và bao gồm vecto chỉ phương
*
. Đường thẳng
*
có phương trình tham số là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Phương trình tham số của đường thẳng

*
đi qua điểm
*
và bao gồm vecto chỉ phương
*
là
*
.

Ví dụ 1.2:Trong không khí với hệ tọa độ

*
, đến hai điểm
*
và phương diện phẳng
*
có phương trình
*
. Viết phương trình con đường thẳng
*
đi qua 2 điểm
*
.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

*
.

Phương trình tham số của mặt đường thẳng

*
đi qua điểm
*
và tất cả vecto chỉ phương
*
là
*
.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.3:Trong không khí với hệ tọa độ

*
, mang đến hai mặt phẳng
*
và
*
. Giao tuyến của
*
và
*
có phương trình thông số là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Cách 1:

Xét hệ

*
.

Cho

*
thay vào (*) tra cứu được
*
.

Đặt

*
.

Cho

*
thay vào (*) kiếm tìm được
*
.

Đặt

*
là một vecto chỉ phương của
*
.

Như vậy, phương trình tham số của

*
là
*
.

Cách 2:

Xét hệ

*
.

Cho

*
thay vào (*) tìm kiếm được
*
.

Đặt

*
.

*
có vecto pháp tuyến
*
.

*
có vecto pháp tuyến
*
.

*
=(4;14;8)Rightarrow " />chọn
*
là một vecto pháp tuyến đường của
*
.

Như vậy, phương trình tham số của

*
là
*
.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.4 (THPT chuyên KHTN 2017 Lần 4)Trong không khí với hệ tọa độ

*
, cho cha điểm
*
. Viết phương trình trung đường đỉnh
*
của tam giác
*
.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Gọi

*
là trung điểm của cạnh
*
, ta có
*
là vecto chỉ phương của mặt đường thẳng
*
.

Do đó phương trình đường trung tuyến

*
là
*
.

Chọn giải đáp B.

Dạng 2. Vị trí kha khá của đường thẳng với mặt phẳng

Ví dụ 2.1 (THPT chuyên Bắc Giang 2017 Lần 1)Cho đường thẳng

*
và khía cạnh phẳng
*
. Xét vị trí kha khá của
*
và
*
.

A.

*
nằm trên
*
. B.
*
//
*
.

C.

*
cắt cùng không vuông góc với
*
. D.
*
.

Lời giải:

Đường thẳng

*
đi qua
*
và có
*
, phương diện phẳng
*
có một
*
*
.

Ta có

*
.

Do đó

*
song song hoặc ở trên
*
.

Mặt khác

*
.

Vậy

*
nằm trên
*
.Chọn giải đáp A.

Ví dụ 2.2:Trong không khí với hệ tọa độ

*
, mang đến đường thẳng
*
có phương trình là
*
và khía cạnh phẳng
*
có phương trình
*
. Tra cứu tọa độ giao điểm của mặt phẳng
*
và đường thẳng
*
.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Cách 1 (Tự luận)

Xét phương trình

*
.

Thay

*
vào phương trình mặt đường thẳng
*
, ta được tọa độ giao điểm của
*
và
*
là
*
.

Cách 2 (Trắc nghiệm)

Vì

*
Loại giải đáp A cùng B.

*
nên nỗ lực tọa độ
*
vào phương trình khía cạnh phẳng
*
Chọn giải đáp C.

Ví dụ 2.3:Trong không khí với hệ tọa độ

*
, mang lại đường thẳng
*
có phương trình
*
và điểm
*
. Viết phương trình phương diện phẳng
*
đi qua điểm
*
và vuông góc với mặt đường thẳng
*
.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

*
là
*
của mặt đường thẳng
*
.

Vì

*
nên
*
cũng là
*
của
*
.

Phương trình phương diện phẳng

*
đi qua điểm
*
và có
*
là:

*
.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.4:Phương trình tham số của đường thẳng

*
đi qua nhì điểm
*
và vuông góc với khía cạnh phẳng
*
có phương trình
*
là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có

*
là một vecto pháp đường của phương diện phẳng
*
.

Vì

*
cũng là vecto chỉ phương của con đường thẳng
*
.

Vậy phương trình đường thẳng

*
là
*
.

Chọn giải đáp A.

Ví dụ 2.5 (Chuyên Bắc Giang 2017 Lần 1)Viết phương trình khía cạnh phẳng vuông góc với khía cạnh phẳng

*
và đựng đường thẳng
*
.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Đường thẳng

*
đi qua điểm
*
và gồm vecto chỉ phương
*
.

Mặt phẳng

*
có vecto pháp tuyến
*
.

Mặt phẳng

*
cần tìm trải qua điểm
*
và bao gồm vecto pháp tuyến
*
=(-1;-1;-1)" />có phương trình là
*
.Chọn C.

Dạng 3. Vị trí kha khá của hai đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng tương quan đến một đường thẳng

A. Phương pháp


B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1 (THPT siêng Lê Hồng Phong – phái nam Định 2017 Lần 2)Trong không khí với hệ tọa độ

*
, cho hai tuyến đường thẳng
*
và
*
. Mệnh đề như thế nào sau đấy là mệnh đề đúng?

A.

*
và
*
vuông góc cùng nhau và giảm nhau. B.
*
.

C.

*
và
*
chéo nhau. D.
*
.

Lời giải:

Đường thẳng

*
có vecto chỉ phương
*
.

Đường thẳng

*
có vecto chỉ phương
*
.

Ta thấy

*
và
*
không thuộc phương nên đáp án B, C sai.

Phương trình tham số

*
.

Xét hệ

*
*
hệ vô nghiệm.

Suy ra

*
và
*
chéo nhau.Chọn câu trả lời C.

Ví dụ 3.2:Phương trình tham số của mặt đường thẳng

*
đi qua điểm
*
và tuy vậy song với con đường thẳng
*
có phương trình
*
là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có

*
là một vecto chỉ phương của đường thẳng
*
.

Vì

*
cũng là một vecto chỉ phương của con đường thẳng
*
.

Vậy phương trình của con đường thẳng

*
là
*
.

Chọn câu trả lời A.

Ví dụ 3.3:Trong không gian với hệ tọa độ

*
cho điểm
*
và con đường thẳng
*
. Viết phương trình mặt đường thẳng đi qua điểm
*
, vuông góc và giảm đường thẳng
*
.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Gọi

*
là đường thẳng trải qua điểm
*
, vuông góc và giảm đường thẳng
*
tại
*
.

*
.

*
là vecto chỉ phương của
*
.

Vì

*
.

Do đó vecto chỉ phương của

*
là
*
.

Phương trình thông số của

*
là
*
.

Chọn câu trả lời C.

Ví dụ 3.4:Trong không khí với hệ tọa độ

*
cho khía cạnh phẳng
*
và mặt đường thẳng
*
. Viết phương trình mặt đường thẳng nằm trong mặt phẳng
*
, đi qua giao điểm của
*
và
*
, mặt khác vuông góc với
*
?

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Gọi

*
là giao điểm của
*
và
*
.

*
*
. Bởi đó
*
.

*
có vecto chỉ phương
*
có vecto chỉ phương
*
có vecto chỉ phương
*
=(8;-7;-11)" />.

Phương trình con đường thẳng

*
là
*
.Chọn câu trả lời A.

Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng tương quan đến hai tuyến đường thẳng

A. Phương pháp


B. Bài bác tập ví dụ

Ví dụ 4.1:Cho hai tuyến phố thẳng

*
có phương trình thứu tự là
*
và
*
. Phương trình của
*
đi qua
*
và vuông góc với cả
*
là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Vecto chỉ phương của

*
là
*
=(14;17;9)" />.

Chọn giải đáp B.

Ví dụ 4.2 (THPT chuyên KHTN 2017 Lần 4)Trong không khí với hệ tọa độ

*
, cho hai tuyến đường thẳng
*
. Đường thẳng
*
qua
*
cắt
*
lần lượt tại
*
và
*
. Tính độ dài đoạn thẳng
*
.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Giả sử

*
.

*
.

Ta có

*
*
.

Chọn lời giải B.

Ví dụ 4.3:Trong không gian với hệ tọa độ

*
cho điểm
*
và mặt đường thẳng
*
. Viết phương trình đường thẳng
*
đi qua điểm
*
, vuông góc với
*
và cắt trục
*
.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Gọi

*
là giao điểm của con đường thẳng
*
với trục
*
. Khi đó, đường thẳng
*
nhận vecto
*
làm vecto pháp tuyến. Vày đường thẳng
*
vuông góc với mặt đường thẳng
*
nên
*
.

Đường thẳng

*
nhận vecto
*
làm vecto pháp tuyến tất cả phương trình
*
.

Xem thêm: Những Điều Cấm Kỵ Vào Ban Đêm, Bạn Nên Biết, 19 Điều Kiêng Kỵ Bạn Không Nên Làm Vào Ban Đêm

Chọn đáp án C.

Ví dụ 4.4:Trong không gian với hệ tọa độ

*
, cho
*
và
*
. Lập phương trình con đường vuông góc tầm thường của
*
và -->