Các dạng toán phương trình lượng giác, cách thức giải và bài xích tập từ bỏ cơ bạn dạng đến cải thiện - toán lớp 11

Sau khi làm cho quen với những hàm lượng giác thì những dạng bài xích tập về phương trình lượng giác đó là nội dung tiếp theo sau mà những em vẫn học trong lịch trình toán lớp 11.

Bạn đang xem: Phương trình lượng giác nâng cao


Vậy phương trình lượng giác có những dạng toán nào, phương pháp giải ra sao? bọn họ cùng mày mò qua bài viết này, đồng thời vận dụng các phương pháp giải này để gia công các bài xích tập từ cơ bạn dạng đến nâng cấp về phương trình lượng giác.

I. Triết lý về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là 1 cung thỏa sinα = a, lúc đó phương trình (1) có các nghiệm là:

 x = α + k2π, ()

 và x = π - α + k2π, ()

- Nếu α vừa lòng điều kiện 

*
 và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Lúc đó những nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, ()

 và x = π - arcsina + k2π, ()

- Phương trình sinx = sinβ0 có các nghiệm là:

 x = β0 + k3600, ()

 và x = 1800 - β0 + k3600, ()

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa cosα = a, khi đó phương trình (2) có các nghiệm là:

 x = ±α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại 0 ≤ α ≤ π cùng cosα = a thì ta viết α = arccosa. Lúc đó các nghiệm của phương trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, ()

- Phương trình cosx = cosβ0 có các nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, ()

3. Phương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, hay đk của phương trình (3) là: 

*

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện

*

- Nếu α thỏa mãn điều kiện

*

II. Những dạng toán về Phương trình lượng giác và phương thức giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng các công thức nghiệm tương xứng với từng phương trình.

* lấy một ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a) b)

b)

d)

*

* giải thuật bài 1 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

a)  

*

 

*

b) 

*

 

*

 

*

c) 

*

 

*

 

*

 

*

d)

*
 
*

 

*

*
*
 
*

* ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a) 

*

 

*
 
*
*

b) 

*

 

*
 
*
 
*

c) 

*

 

*
 
*

d) 

*

 

*
 
*

° Dạng 2: Giải một vài phương trình lượng giác chuyển được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng các công thức biến đổi để lấy về phương trình lượng giác đã cho về phương trình cơ bản như Dạng 1.

* lấy một ví dụ 1: Giải những phương trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

° Lời giải:

a)

*
 
*

 

*
*
 
*

+ Với 

*
 
*
 hoặc 
*

+ với

*
 
*
 hoặc 
*

b) 

*
 
*

 

*
 
*

c)

*
 
*

 

*
 

 

*

 

*

 

*

d)

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*

* giữ ý: Bài toán trên vận dụng công thức:

 

*
*

 

*
*

* ví dụ 2: Giải những phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

b)

 

*
 
*

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

* lưu ý: bài toán vận dụng công thức biến hóa tích thành tổng:

 

*

 

*

 

*

* lấy ví dụ 3: Giải những phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

*

 

*
 
*

 

*
 
*

b)

*

 

*
 
*

 

*
*
 
*

c)

*

 

*

 

*

 

*

  hoặc 

*

  hoặc 

*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*
 với 
*

d)

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

* giữ ý: Bài toán trên có áp dụng công thức chuyển đổi tổng các kết quả và bí quyết nhân đôi:

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

° Dạng 3: Phương trình số 1 có một hàm con số giác

* Phương pháp

- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: 

* ví dụ như 1: Giải những phương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a)  

 

*
 
*

+ Với 

*

+ Với 

*

b)

 

*

 

*

 

*

 

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
 
*
*

+ Với 

*
: vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc hai gồm một hàm con số giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai so với t, ví dụ:

 + Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta tất cả phương trình at2 + bt + c = 0.

* giữ ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải gồm điều kiện: -1≤t≤1

* lấy một ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

- Đặt 

*
 ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ cùng với t = 1: sinx = 1 

*

+ cùng với t=1/2: 

*
 

 

*
 hoặc 
*

b) 

 

*

*

+ Đặt 

*
 ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.

+ t = 3/2 >1 cần loại

+ 

*
*
 
*

* Chú ý: Đối với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương pháp giải như sau:

 - Ta có: cosx = 0 không hẳn là nghiệm của phương trình vị a≠0,

 Chia 2 vế cho cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 với tanx)

 - ví như phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta thay d = d.sin2x + d.cos2x, với rút gọn mang đến dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ cách 1: Chia nhị vế phương trình cho , ta được:

 

 - Nếu  thì phương trình vô nghiệm

 - Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

- Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ bí quyết 2: Sử dụng bí quyết sinx và cosx theo ;

 

 - Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 so với t.

* lưu ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) tất cả nghiệm lúc c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng thể của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có: 

*
 khi đó:

  

*

+ Đặt 

*
 ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

 

*
 
*
 
*

b) 

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* giữ ý: bài toán vận dụng công thức:

 

*
 

 

*

° Dạng 6: Phương trình đối xứng với sinx cùng cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

Xem thêm: Bài Phát Biểu Chia Tay Đồng Nghiệp, Sếp "Độc Đáo, Hài Hước, Đáng Yêu"

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx, khi đó:  thay vào phương trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- lưu giữ ý: 

*
 nên đk của t là: 

- cho nên vì vậy sau khi tìm kiếm được nghiệm của PT (*) cần kiểm tra (đối chiếu) lại đk của t.

- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 không phải là PT dạng đối xứng tuy vậy cũng hoàn toàn có thể giải bằng cách tương tự:

 Đặt t = sinx - cosx;  

*

* Ví dụ: Giải những phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

  hoặc 

+ Với  

*

 

*
 
*

 

*

+ Tương tự, với 

*

 b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

*

 

*

- Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 
*
 
*

+ cùng với t=1 

*

 

*
*

 

*
 hoặc 
*

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
: loại

III. Bài xích tập về những dạng toán Phương trình lượng giác

* Bài 2 (trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Với số đông giá trị như thế nào của x thì giá bán trị của những hàm số y = sin 3x với y = sin x bởi nhau?

° giải thuật bài 2 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

- Ta có: 

*

 

*
 
*

 

*

- Vậy với 

*
thì 
*

* bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải những phương trình sau:

 a) 

 b) 

*

 c) 

 d) 

° lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

a) 

 

*
 
*

- Kết luận: PT gồm nghiệm

*

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT tất cả nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

 

*
 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

d) 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* Bài 4 (trang 29 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải phương trình 

° giải thuật bài 3 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có:  

*

 

*
 
*

 

*

+ Đến trên đây ta cần đối chiếu với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

*

*
(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

*

*
 (không thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT bao gồm họ nghiệm là 

*

* Bài 1 (trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải phương trình: sin2x – sinx = 0 

° giải thuật bài 1 trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

- Kết luận: PT tất cả tập nghiệm 

*

* bài 2 (trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

*
.sin4x = 0

° giải mã bài 2 trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, lúc đó PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0