Hướng dẫn, bí quyết giải phương trình nghiệm nguyên qua một số trong những ví dụ. Phương pháp: chẵn lẻ, phân tích, cực hạn, nhiều loại trừ, chia hết, lùi vô hạn,bất đẳng thức.

Tùy từng bài xích tập mà các em vận dụng một giỏi nhiều phương pháp để giải câu hỏi phương trình nghiệm nguyên.




Bạn đang xem: Phương trình nghiệm nguyên

I. Phương thức 1 : thực hiện tính chẵn lẻ

Ví dụ 1: search x, y thành phần thoả mãn

y2 – 2x2 = 1

Hướng dẫn:

Ta gồm y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta gồm (2k + 1)2 = 2x2 + 1

⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , cơ mà x nhân tố ⇒ x = 2, y = 3

Ví dụ 2: tìm kiếm nghiệm nguyên dương của phương trình

(2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

 Hướng dẫn:

Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn

2|x| + y + x2  + x = 2|x| + y + x(x+ 1) lẻ

có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x|  lẻ ⇒ 2|x| = 1 ⇒ x = 0

Thay x = 0 vào phương trình ta được

(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y = $ displaystyle -frac265$ ( loại)

Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình

II. Cách thức 2 : phương thức phân tích

Thực hóa học là chuyển đổi phương trình về dạng:

g1 (x1, x2,…., xn­) h (x1, x2,…., xn­) = a

Ví dụ 3: tìm kiếm nghiệm nguyên của phương trình

x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2

Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1

⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ <(x+1)2 –y> <(x+1)2+y>= 1

⇔ $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=1\(x+1)_^2+y=1endarray ight.$ hoặc $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=-1\(x+1)_^2+y=-1endarray ight.$

$ displaystyle left< eginarrayl1+y=1-y\-1+y=-1-yendarray ight.$

⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )

III.

Xem thêm: Tuổi Trẻ Như Một Cơn Mưa Rào Cho Dù Bị Cảm Vẫn Muốn Quay Lại Để Ướt Thêm Một Lần Nữa

Phương thức 3 : phương pháp cực hạn

Sử dụng đối với 1 số bài toán vai trò của những ẩn bình đẳng như nhau:

Ví dụ 4: search nghiệm nguyên dương của phương trình:

5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

phía dẫn:

Ta trả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1

Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

*
*
*
*
*
*
*

⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2

Vậy phương trình tất cả nghiệm nguyên

(x, y) = (2; -5); (-2, 3)

Ví dụ 15: kiếm tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ta bao gồm x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 gồm 2 nghiệm x1, x2

Ta có: $ displaystyle left{ eginarraylx_1+x_2=y+5\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ $ displaystyle left{ eginarrayl5x_1+5x_2=5y+25\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23

⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 mà 2 = 1.2 = (-1)(-2)

⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2

thay vào phương trình ta tìm được các cặp số

(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình

X. Phương pháp 10 : dùng bất đẳng thức

Ví dụ 16: tìm kiếm nghiệm nguyên của phương trình

x2 –xy + y2 = 3

phía dẫn:

Ta tất cả x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$

Ta thấy (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$ ≥ 0