Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (Linear Algebra)Xác suất thống kêVideo bài giảngThảo luậnThảo luận về giải tíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Ở bài bác này ta chỉ xét cực trị của hàm hai trở thành z = f(x,y).

Bạn đang xem: Tìm cực trị của hàm 2 biến

đến hàm f(x,y) xác định trong miền D và điểm

*

1. Định nghĩa:

Ta nói

*
là điểm cực đái (hoặc cực đại), nếu tồn tại
*
_lân cận của
*
sao cho:

*

(

*
)

Nếu hàm số f đạt cực đại hay rất tiểu (địa phương) tại

*
thì ta nói hàm f đạt cực trị (địa phương) tại
*

Nhận xét:

– Hàm số

*
đạt rất tiểu (cực đại) tại
*
nếu:
*

– nếu như

*
thay đổi dấu lúc
*
chuyển đổi thì hàm số không đạt rất trị tại
*

Ví dụ: bạn hãy xét xem hàm số

*
có đạt rất trị tại M(0;0) tốt không?

Xét

*
là một trong những điểm trong sát bên của M(0;0). Ta có:

*

Với

*
0 , \Deltay > 0 : \Deltaf(0;0) > 0 " class="latex" />

Với

*

Vậy

*
đổi khác dấu cần hàm f không đạt cực trị trên M0.

2. Luật lệ tìm cực trị không điều kiện:

2.1 Định lý (Điều khiếu nại cần)

Nếu hàm

*
đạt rất trị (địa phương) tại
*
với nếu f có các đạo hàm riêng biệt tại
*
thì:

*

Chứng minh:

Giả sử hàm f đạt cực đại tại

*
(trường hòa hợp hàm f đạt rất tiểu tại M0 trọn vẹn tương từ bỏ ).

Khi đó, xét hàm

*
ta có:
*
, với x trong một khoảng làm sao đó đựng x0.

Do đó, hàm g(x) đạt cực đại tại x0. Hay:

*

Mặt khác:

*
. Vậy:
*

Tương tự, ví như xét hàm

*
ta vẫn có:
*

Điểm

*
cơ mà tại đó
*
, được gọi là điểm dừng.

2.2 Định lý (Điều kiện đủ)

Giả sử hàm số

*
có các đạo hàm riêng đến cấp 2 tiếp tục trong ở bên cạnh của điểm dừng
*

Đặt:

*

Khi đó:

a. Nếu như

*
0) thì f đạt rất tiểu tại M0.

b. Nếu

*

c. Nếu như

*
0 " class="latex" /> thì f không đạt rất trị trên M0.

d. Trường hợp

*
ta chưa kết luận và cần được xét cụ thể bằng cách dựa vào định nghĩa.

Xem thêm: Cách Tìm Giá Trị Lớn Nhất Của Biểu Thức Chứa Căn Lớp 9 Hay Nhất

Ta công nhận không chứng tỏ định lý này. Việc chứng minh định lý này, phụ thuộc vào việc khai triển Taylor – Maclaurin đến hàm số 2 biến. Lúc đó, ta sẽ xét dấu cho vi phân cấp 2 trong khai triển Taylor. Các bạn có thể xem chi tiết chứng minh và công thức Taylor vào giáo trình Toán học cao cấp (Tập 3) của người sáng tác Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, nhằm xem triệu chứng minh 1 cách dễ đọc nhất, chúng ta cũng có thể xem vào cuốn Giải tích toán học của người sáng tác Pixcunop (tập 2).

Ví dụ 1: Tìm rất trị của hàm số:

*

Ví dụ 2: Tìm rất trị của hàm số:

*


Đánh giá:


thưa thầy mang lại em hỏi bài nì:tìm cực trị của:

*
Tọa độ điểm dừng là nghiệm hệ:
*
ta tìm kiếm được các điểm dừng nhằm đạo hàm riêng kxđ và = 0 là: (0,0) (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1)Xét dz cho từng trường đúng theo thì ta gồm dc là: (0,0) là rất đại, còn lại là rất tiểuMặt khác hay thấy rằng:
*
là thứ thị là chào bán cầu tâm O nửa đường kính r =1, nằm phía bên trên mp xOycó điểm cực đại (0,0) là hoàn toàn chính xác, nhưng các ngoài những điểm (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1) thì tất cả những điểm bên trên mp xOy hồ hết là cực tiểu hết . Như vậy, thì thứ thị này còn có qũy tích điểm rất tiểu là con đường tròn vai trung phong O bk r =1 nằm trên xOy.Em thấy hai phương pháp giải bên trên nó mâu thuẫn với nhau về điểm rất tiểu, em không biết cách nào đúng, thầy giúp em với