TÌM CỰC TRỊ HÀM LƯỢNG GIÁC

Bài viết giải đáp tìm cực trị của hàm số thông qua các bước giải ví dụ và các ví dụ minh họa có giải thuật chi tiết, các ví dụ được chọn lọc với rất nhiều dạng bài không giống nhau như: rất trị hàm nhiều thức, cực trị hàm cất căn, rất trị hàm chứ dấu quý giá tuyệt đối, rất trị hàm lượng giác …

Phương phápĐể tìm cực trị của hàm số $y = f(x)$, ta tiến hành theo quá trình sau đây:+ Tìm tập xác định $D$ của hàm số $f$.+ Tính $f’(x)$.+ Tìm nghiệm của phương trình $f’(x) = 0$ (nếu có) cùng tìm những điểm $x_0 in D$ mà tại kia hàm $f$ tiếp tục nhưng $f"(x_0)$ không tồn tại.+ Vận dụng một trong những định lý dưới đây để xác minh điểm cực trị của hàm số:Định lý 1: Giả sử hàm số $f$ tiếp tục trên khoảng tầm $left( a;b ight)$ cất điểm $x_0$ và bao gồm đạo hàm trên những khoảng $left( a;x_0 ight)$ cùng $left( x_0;b ight)$. Khi đó:Nếu $left{ eginarraylf’left( x_0 ight) f’left( x_0 ight) > 0,x in left( x_0;b ight)endarray ight.$ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_0.$

Nếu $left{ eginarraylf’left( x_0 ight) > 0,x in left( a;x_0 ight)\f’left( x_0 ight) endarray ight.$ thì hàm số đạt cực lớn tại điểm $x_0.$

Định lý 2: mang sử hàm số $f$ có đạo hàm cung cấp một trên khoảng tầm $left( a;b ight)$ chứa điểm $x_0$, $f’left( x_0 ight) = 0$ và $f$ có đạo hàm trung học phổ thông khác $0$ tại điểm $x_0.$Nếu $f”left( x_0 ight) giả dụ $f”left( x_0 ight) > 0$ thì hàm số $f$ đạt rất tiểu tại điểm $x_0.$

Chú ý: cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $D.$ Điểm $x = x_0 in D$ là điểm cực trị của hàm số khi và chỉ còn khi hai điều kiện sau đây cùng thảo mãn:+ Tại $x = x_0$, đạo hàm triệt tiêu (tức $f"(x_0) = 0$) hoặc không tồn tại.+ Đạo hàm đổi vết khi $x$ đi qua $x_0.$

Ví dụ minh họaVí dụ 1. Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:a. $y = – x^4 + 2x^2 + 1.$b. $y = – x^4 + 6x^2 – 8x + 1.$

a. TXĐ: $D = R.$Ta có: $y’ = – 4x^3 + 4x$ $ = – 4x(x^2 – 1)$ $ Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = pm 1.$Cách 1: (Dùng định lý 1, xét vết $y’$)Giới hạn: $mathop lim limits_x o – infty y = – infty ,mathop lim limits_x o + infty y = – infty .$Bảng đổi mới thiên:

Hàm số đạt cực to tại các điểm $x = pm 1$ với giá trị cực to của hàm số là $y( pm 1) = 2$ và hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$ với quý giá cực đái của hàm số là $y(0) = 1.$Cách 2: (Dùng định lý 2)$y” = – 12x^2 + 4 = – 4(3x^2 – 1).$$y”left( pm 1 ight) = – 8 $y”left( 0 ight) = 4 > 0$ suy ra $x = 0$ là điểm cực to của hàm số và $ my_ mCT = m1 m.$b. TXĐ: $D = R.$Ta có: $y’ = – 4x^3 + 12x – 8$ $ = – 4(x – 1)^2(x + 2)$ $ Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow x = – 2, x = 1.$Giới hạn: $mathop lim limits_x o – infty y = – infty ,mathop lim limits_x o + infty y = – infty .$Bảng trở thành thiên:

Hàm đạt cực đại tại $x = – 2$ với giá trị cực lớn của hàm số là $y( – 2) = 25$, hàm số không có cực tiểu.

Bạn đang xem: Tìm cực trị hàm lượng giác

Nhận xét: Trong vấn đề này, do $left{ eginarrayly"(1) = 0\y”(1) = 0endarray ight.$ do kia định lý 2 không khẳng định được điểm $x = 2$ có phải là vấn đề cực trị của hàm số tốt không.Ví dụ 2. Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:a. $y = – x^3 – frac32x^2 + 6x + 1.$b. $y = sqrt x + sqrt x^2 – x + 1 .$

a. TXĐ: $D = R.$Ta có: $y’ = – 3x^2 – 3x + 6$ $ = – 3(x^2 + x – 2)$ $ Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow x = – 2 , x = 1.$$y” = – 6x – 3,$ $y”( – 2) = 9 > 0,$ $y”(1) = – 9 Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $ mx = – m 2$, $ my_ mCT = myleft( – m2 ight) = – m9$ hàm số đạt cực to tại $ mx = m1$, $ my_ mCĐ = myleft( m1 ight) = frac92.$b. Hàm số xác định $ Leftrightarrow x + sqrt x^2 – x + 1 ge 0$ $ Leftrightarrow sqrt x^2 – x + 1 ge – x$$ Leftrightarrow left{ eginarraylx^2 – x + 1 ge 0\– x le 0endarray ight.$ $ vee left{ eginarrayl– x ge 0\x^2 – x + 1 ge ( – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylforall x in R\x ge 0endarray ight. vee left{ eginarraylx le 0\x le 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow x ge 0 vee x le 0 Leftrightarrow x in R.$Vậy tập xác định của hàm số: $D = R.$$y’ = fracleft( x + sqrt x^2 – x + 1 ight)’2sqrt x + sqrt x^2 – x + 1 $ $ = frac1 + frac2x – 12sqrt x^2 – x + 1 2sqrt x + sqrt x^2 – x + 1 $ $ = frac2sqrt x^2 – x + 1 + 2x – 12sqrt x^2 – x + 1 .sqrt x + sqrt x^2 – x + 1 .$$y’ = 0$ $ Leftrightarrow 2sqrt x^2 – x + 1 = 1 – 2x$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayl1 – 2x ge 0\4(x^2 – x + 1) = (1 – 2x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx le frac12\4 = 1endarray ight.$Vậy phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm, lại có $y’$ luôn tồn tại, suy ra hàm số không có điểm cực trị.

Ví dụ 3.

Xem thêm: Cách Thay Ảnh Đại Diện Trên Facebook Trên Android, Cách Đặt Ảnh Đại Diện Facebook Không Bị Cắt

Tìm rất trị (nếu có) của các hàm số sau:a. $y = frac x ight.$b. $y = left| x + 3 ight| + frac1x + 1.$

a. TXĐ: $D = R.$Nếu $ mx in <0; + infty )$ thì $y = frac4 – x4 + x$ $ Rightarrow y’ = – frac8(4 + x)^2 trường hợp $ mx in ( – infty ;0>$ thì $y = frac4 + x4 – x$ $ Rightarrow y’ = frac8(4 – x)^2 > 0,$ $forall x in ( – infty ;0>.$Tại $x = 0$ thì $y"(0^ + ) = – frac12$, $y"(0^ – ) = frac12$. Vì $y"(0^ + ) e y"(0^ – )$ nên $y"(0)$ không tồn tại.Vậy hàm số đạt cực to tại $ mx = 0, m my_ mCĐ = m1.$b. $y = left| x + 3 ight| + frac1x + 1$ $ = left{ eginarraylx + 3 + frac1x + 1 lúc x ge – 3\– (x + 3) + frac1x + 1 khi x endarray ight.$TXĐ: $ mD = Rackslash left – 1 ight.$Nếu $ x ge – 3$ thì $y = x + 3 + frac1x + 1$, ta có: $y’ = 1 – frac1(x + 1)^2$ $ = frac(x + 1)^2 – 1(x + 1)^2.$Và $y’ = 0 Leftrightarrow left{ eginarrayl(x + 1)^2 = 1\x > – 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx + 1 = pm 1\x > – 3endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylx = 0\x = – 2endarray ight.$Tại $ x = – 3$, ta có: $y"( – 3^ + )$ $ = 1 – frac1( – 3 + 1)^2 = frac34$, $y"( – 3^ – )$ $ = – 1 – frac1( – 3 + 1)^2 = – frac54.$Vì $y"( – 3^ + ) e y"( – 3^ – )$ nên $y"( – 3)$ không tồn tại.Nếu $x Bảng biến hóa thiên:

Suy ra điểm rất tiểu của hàm số là $x = – 3$, $ my_ mCT = – frac12$ và $ mx = 0$, $ my_ mCT = m 4$, điểm cực đại của hàm số là $ mx = – m 2$, $ my_ mCD = 0.$

Ví dụ 4. Tìm rất trị (nếu có) của hàm số: $y = 3 – 2cos x – cos 2x.$

TXĐ: $ mD = R.$Ta có: $y’ = 2sin xleft( 2cos x + 1 ight)$ và $y” = 2cos x + 4cos 2x.$$y’ = 0$ ⇔ $left< eginarraylsin x = 0 Leftrightarrow x = kpi \cos x = – frac12 Leftrightarrow x = pm frac2pi 3 + k2piendarray ight.$$y”left( kpi ight)$ $ = 2cos left( kpi ight) + 2cos 2left( kpi ight).$$y”left( kpi ight) = 6 > 0$ nếu $k$ chẵn, suy ra hàm số đạt rất tiểu trên điểm $x = 2npi, n in Z$ và $yleft( 2npi ight) = 0.$$y”left( kpi ight) = 2 > 0$ nếu $k$ lẻ, suy ra hàm số đạt cực tiểu trên điểm $x = left( 2n + 1 ight)pi, n in Z$ và $yleft( 2n + 1 ight)pi = 4.$$y”left( pm frac2pi 3 + k2pi ight)