Các dạng toán tính tổng dãy số lũy thừa có quy biện pháp là một trong những chuyên đề có rất nhiều bài tập được call là "khó nhằn" với gây "căng trực tiếp đầu óc" cho các bạn học sinh lớp 6, đây gồm thể coi là dạng toán giành cho học sinh khá giỏi.

Bạn đang xem: Tính tổng lũy thừa có cùng cơ số


Vì vậy, nhằm mục tiêu giúp những em học viên "giải tỏa được căng thẳng" khi gặp những dạng toán về tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật, trong bài viết này bọn họ hãy cùng hệ thống lại một số dạng toán này cùng công thức và bí quyết giải, tiếp nối vận dụng làm các bài tập.

I. Dạng toán tính tổng dãy sử dụng cách thức quy nạp.

- Đối với cùng 1 số trường vừa lòng khi tính tổng hữu hạn:

 Sn = a1 + a2 + . . . + an (*)

khi mà ta có thể biết được hiệu quả (đề việc cho ta biết kết quả hoặc ta dự đoán được kết quả), thì ta sử dụng cách thức quy nạp này để triệu chứng minh.

* Ví dụ: Tính tổng Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1)

° phía dẫn: (sử dụng cách thức quy nạp)

- Đầu tiên, ta thử với n = 1, ta có: S1 = (2.1 - 1) = 1

 Thử cùng với n = 2, ta có: S2 = (2.1 - 1) + (2.2 - 1) = 1+ 3 = 4 = 22

 Thử cùng với n= 3, ta có: S3 = (2.1 - 1) + (2.2 - 1) + (2.3 - 1)= 1+ 3 + 5 = 9 = 32

 ... ... ... 

- Ta dự đoán: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n2 

• cách thức quy nạp: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n2 (*)

 Với n = 1; S1 = 1 (đúng)

 Giả sử đúng cùng với n = k (k≠1), tức là:

 Sk =1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2 (1)

 Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1, tức là:

 Sk+1 = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)2 

 Vì ta đã giải sử Sk đúng đề nghị ta đã gồm (1), từ trên đây ta biến đổi để mở ra (2), (1) còn gọi là giải thiết quy nạp.

 1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2

 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2 + (2k+1) (cộng 2k+1 vào 2 vế).

Từ đó ⇒ 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2 + 2k + 1 = (k+1)2

• Tương từ bỏ như vậy, ta tất cả thể chứng minh các kết quả sau bằng phương thức quy hấp thụ toán học:

1)

*

2) 

*

3) 

*

4) 

*

II. Dạng toán Tính tổng dãy sử dụng phương thức khử liên tiếp

- trả sử buộc phải tính tổng: Sn = a1 + a2 + . . . + an (*) mà lại ta rất có thể biểu diễn ai, i =1,2,3,...,n qua hiệu của 2 số hạng tiếp tục của 1 hàng khác, ví dụ như sau:

 a1 = b1 - b2

 a2 = b2 - b3

 ... ... ...

 an = bn - bn+1

⇒ lúc đó ta có: Sn = (b1 - b2) + (b2 - b3)+...+(bn - bn+1) = b1 - bn+1

* ví dụ như 1: Tính tổng:

*

° Hướng dẫn: - Ta có:

 

*
 
*

 

*
 ...; 
*

⇒

*
*

• Dạng tổng quát: 

*
*

* lấy ví dụ 2: Tính tổng:

 

*

° Hướng dẫn: - Ta có:

*
 
*
 ;...; 
*

*
*

*

*

* lấy một ví dụ 3: Tính tổng:

 

*

° Hướng dẫn: - Ta có:

 

*

 

*

 

*

III. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng nên tìm

• Dạng toán này vận dựng 2 phương thức giới thiệu ngơi nghỉ trên

* ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 2 + 22 + . . . + 2100 (*)

° hướng dẫn:

* cách 1: Ta viết lại S như sau:

 S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299)

 S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299 + 2100 - 2100)

⇒ S = 1+ 2(S - 2100) = 1+ 2S - 2101

⇒ S = 2101 - 1

* cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

 2S = 2(1 + 2 + 22 + . . . + 2100)

⇔ 2S = 2 + 22 + 23 + . . . 2101 (**)

- rước (**) trừ đi (*) ta được:

 2S - S = (2 + 22 + 23 + . . . 2101) - (1 + 2 + 22 + . . . + 2100)

⇔ S = 2101 - 1.

• tổng thể cho dạng toán này như sau:

 

*

 Ta nhân cả hai vế của Sn cùng với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: 

*

* ví dụ như 2: Tính:

 S = 1 - 2 + 22 - 23 + 24 - . . . - 299 + 2100

° phía dẫn:- Ta có:

 2S = 2(1 - 2 + 22 - 23 + 24 - . . . - 299 + 2100)

⇔ 2S = 2 - 22 + 23 - 24 + 25 - . . . - 2100 + 2101

⇔ 2S + S = (2 - 22 + 23 - 24 + 25 - . . . - 2100 + 2101) + (1 - 2 + 22 - 23 + 24 - . . . - 299 + 2100) 

⇔ 3S = 2101 + 1.

*

• bao quát cho dạng toán này như sau:

*

 Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế cùng với vế ta được:

*

* ví dụ 3: Tính tổng:

 S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100 (*)

° hướng dẫn:

- Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một trong những nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được những số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

- Đối với bài bác này, ta thấy số mũ của 2 số liên tục cách nhau 2 đơn vị chức năng nên ta nhân nhị vế cùng với 32 rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

Xem thêm: Thuốc Acemuc Là Thuốc Gì ? Công Dụng Và Cách Dùng Thuốc Ho Acemuc Có Phải Kháng Sinh

S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100 

⇔ 32.S = 32(1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100)

⇔ 9S= 32 + 34 + . . . + 3100 + 3102 (**)

- Ta Trừ vế cùng với vế của (**) đến (*) được:

9S-S= (32 + 34 + . . . + 3100 + 3102) - (1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100)

⇔ 8S = 3102 - 1

*

• tổng quát cho dạng toán này như sau:

*

 Ta nhân cả hai vế của Sn với ad . Rồi TRỪ vế với vế ta được: 

 

*

* lấy một ví dụ 4: Tính:

 S = 1 - 23 + 26 - 29+ . . . + 296 - 299 (*)

° hướng dẫn:

- Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 solo vị, nhân 2 vế với 23 ta được:

 23.S = 23.(1 - 23 + 26 - 29+ . . . + 296 - 299)

⇒ 8S = 23 - 26 + 29 - 212+ . . . + 299 - 2102 (**)

- Ta CỘNG vế cùng với vế (**) với (*) được:

 8S + S = (23 - 26 + 29 - 212+ . . . + 299 - 2102)+(1 - 23 + 26 - 29+ . . . + 296 - 299)

⇔ 9S = 1 - 2102 

*

• bao quát cho dạng toán này như sau: 

*

Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi CỘNG vế cùng với vế ta được: 

 

*

III. Dạng toán áp dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số bí quyết đều.

• Đối cùng với dạng này nghỉ ngơi bậc học cao hơn hẳn như THPT những em sẽ có công thức tính theo cấp cho số cùng hoặc cấp cho số nhân, còn với lớp 6 các em phụ thuộc cơ sở triết lý sau:

- Để đếm được số hạng cảu 1 hàng số nhưng 2 số hạng thường xuyên cách đầy đủ nhau 1 số đơn vị chức năng ta sử dụng công thức:

 Số số hạng = <(số cuối - số đầu):(khoảng cách)> + 1

- Để tính Tổng các số hạng của một dãy nhưng mà 2 số hạng thường xuyên cách số đông nhau 1 số đơn vị chức năng ta cần sử dụng công thức: