TOÁN HÌNH 12 TRANG 90

Hướng dẫn giải bài bác §3. Phương trình mặt đường thẳng trong không gian, Chương III. Phương pháp toạ độ trong không gian, sách giáo khoa Hình học tập 12. Nội dung bài giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 89 90 91 sgk Hình học 12 bao gồm tổng đúng theo công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài bác tập hình học có trong SGK sẽ giúp đỡ các em học sinh học tốt môn toán lớp 12.

Bạn đang xem: Toán hình 12 trang 90

Lý thuyết

1. Phương trình thông số của đường thẳng

a) Phương trình tham số của con đường thẳng

Trong ko gian, con đường thẳng (Delta) trải qua (M(x_0,y_0,z_0)) và nhận vectơ (vec u=(a,;b;c)) làm Vectơ chỉ phương (VTCP) gồm phương trình tham số là:

(Delta: left{eginmatrix x=x_0+at\ y=y_0+bt\ z=z_0+ct end matrix ight.(tinmathbbR)) (t được hotline là tham số).

Nếu (a,b,c e 0) thì ta gồm phương trình (fracx – x_0a = fracy – y_0b = fracz – z_0c=t).

Hay (fracx – x_0a = fracy – y_0b = fracz – z_0c) được gọi là phương trình bao gồm tắc của con đường thẳng (Delta).

b) một số cách xác định vectơ chỉ phương của mặt đường thẳng

Nếu (Delta _1 //Delta 2), (overrightarrowu_1) là một trong VTCP của (Delta _1) thì (overrightarrowu_1) là 1 trong những VTCP của (Delta _2).

Nếu (Delta _1perp Delta _2), (overrightarrowu_1) là một VTCP của (Delta _1), (overrightarrowu_2) là 1 trong VTCP của (Delta _2) thì (overrightarrowu_1.overrightarrowu_2=0.)

Nếu mặt đường thẳng (Delta) có VTCP (vec u), tồn tại nhị vectơ (vec u_1) với (vec u_2) sao cho (left{eginmatrix overrightarrowuperp overrightarrowu_1\ overrightarrowuperp overrightarrowu_2 endmatrix ight.) thì (overrightarrowu=left < overrightarrowu_1,overrightarrowu_2 ight >) là một trong VTCP của (Delta).

Cho con đường thẳng (Delta) với mặt phẳng (P) sao cho: (igg lbrack eginmatrix Delta subset (P)\ Delta // (P) endmatrix). Call (overrightarrowu) là một trong VTCP (Delta), (overrightarrown_P) là VTPT của (P) thì (overrightarrowu.overrightarrown_P=0.)

Nếu (A,Bin Delta) thì (overrightarrowAB) là 1 VTCP của (Delta).

2. Vị trí kha khá giữa những đường thẳng

Trong không khí cho hai tuyến đường thẳng: (Delta _1) trải qua M1 và gồm một VTCP (overrightarrowu_1), (Delta _2) đi qua mét vuông và gồm một VTCP (overrightarrowu_2).

Khi đó Vị trí kha khá giữa (Delta _1) và (Delta _2) được xác định như sau:

(Delta _1) với (Delta _2) chéo nhau (Leftrightarrow left < overrightarrowu_1;overrightarrowu_2 ight >. overrightarrowM_1.M_2 eq 0).

(Delta _1) và (Delta _2) cắt nhau (Leftrightarrow left{eginmatrix left < overrightarrowu_1;overrightarrowu_2 ight >. overrightarrowM_1.M_2= 0\ overrightarrowu_1 eq k. overrightarrowu_2 endmatrix ight.).

(Delta _1) // (Delta _2) (Leftrightarrow left{eginmatrix overrightarrowu_1=k.overrightarrowu_2\ M_1in Delta _1, M_1 otin Delta _2 endmatrix ight.).

(Delta _1equiv Delta _2 Leftrightarrow left{eginmatrix overrightarrowu_1=k.overrightarrowu_2\ M_1in Delta _1, M_1in Delta _2 endmatrix ight.).

3. Góc giữa hai tuyến phố thẳng

Trong không gian cho hai tuyến phố thẳng (Delta _1) có một VTCP (overrightarrowu_1=(a_1;b_1;c_1)), (Delta _2) có một VTCP (overrightarrowu_2=(a_2;b_2;c_2))​, khi đó:

(cos(Delta _1;Delta _2)=left | cos(overrightarrowu_1;overrightarrowu_2) ight |=fracleft left )(=frac a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2 ight sqrta^2_1+b^2_1+c^2_1 .sqrta^2_2+b^2_2+c^2_2)

Nhận xét:

​(0^0leq (Delta _1;Delta _2)leq 90^0).

(Delta _1perp Delta _2Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0).

4. Góc giữa con đường thẳng cùng mặt phẳng

Trong không gian cho mặt đường thẳng (Delta) có một VTCP (overrightarrowu=(a;b;c)), phương diện phẳng (P) bao gồm một VTPT (overrightarrown=(A;B;C)), lúc đó:

(sin(widehatDelta ;(P))=left | cos(overrightarrown;overrightarrowu) ight |= fracsqrtA^2+B^2+C^2.sqrta^2+b^2+c^2)

5. Những công thức tính khoảng cách liên quan mang lại đường thẳng

a) khoảng cách từ 1 điểm đến chọn lựa đường thẳng

Cho điểm M và con đường thẳng (Delta) đi qua N và có một VTCP (overrightarrowu). Khi đó khoảng cách từ M mang đến (Delta) khẳng định bởi công thức:

(d(M;Delta )=frac left < overrightarrowNM;overrightarrowu ight > ight left )

b) khoảng cách từ giữa đường thẳng cùng mặt phẳng tuy vậy song

Cho con đường thẳng (Delta) song song với phương diện phẳng (P). M là 1 điểm thuộc mặt đường thẳng (Delta). Lúc đó:

(d(Delta;(P))=d(M;(P)))

c) khoảng cách giữa hai tuyến phố thẳng chéo nhau

♦ cách 1: Trong không gian cho mặt đường thẳng (Delta _1) trải qua M1 tất cả một VTCP (overrightarrowu_1), (Delta _2) đi qua mét vuông có một VTCP (overrightarrowu_2). Khi đó:

(d(Delta _1;Delta _2)=frac .overrightarrowM_1M_2 ight )

♦ giải pháp 2: Gọi AB là đoạn vuông góc tầm thường (Delta _1), (Delta _2) với(Ain Delta _1, Bin Delta _2) suy ra: (left{eginmatrix overrightarrowAB.overrightarrowu_1=0\ overrightarrowAB.overrightarrowu_2=0 endmatrix ight.). Lúc đó:

(d(Delta _1;Delta _2)=AB)

Dưới đây là phần phía dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần buổi giao lưu của học sinh bên trên lớp sgk Hình học 12.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 82 sgk Hình học tập 12

Trong không khí (Oxyz) mang đến điểm (M_0left( 1;2;3 ight)) cùng hai điểm (M_1left( 1 + t;2 + t;3 + t ight)), (M_2left( 1 + 2t;2 + 2t;3 + 2t ight)) cầm tay với thông số (t). Hãy chứng tỏ ba điểm (M_0,M_1,M_2) luôn luôn thẳng hàng.

Trả lời:

Ta có:

(eqalign& overrightarrow M_0M_1 = (t,t,t);,,overrightarrow M_0M_2 = (2t,2t,2t) cr& Rightarrow overrightarrow M_0M_2 = 2overrightarrow M_0M_1 cr& Rightarrow overrightarrow M_0M_2 uparrow uparrow overrightarrow M_0M_1 cr )

⇒ cha điểm (M_0,M_1,M_2) luôn thẳng hàng.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 84 sgk Hình học 12

Cho đường thẳng Δ gồm phương trình tham số (left{ matrixx = – 1 + 2t hfill cr y = 3 – 3t hfill cr z = 5 + 4t hfill cr ight.). Hãy search tọa độ của một điểm M bên trên Δ với tọa độ một vecto chỉ phương của Δ.

Trả lời:

Một điểm M trực thuộc Δ là: (M (-1; 3; 5) ) với 1 vecto chỉ phương của Δ là (overrightarrow a = (2, – 3,4))

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 84 sgk Hình học 12

Cho hai tuyến đường thẳng d và d’ gồm phương trình tham chu kỳ lượt là: (left{ matrixx = 3 + 2t hfill cr y = 6 + 4t hfill cr z = 4 + t hfill cr ight.) cùng (left{ eginarraylx = 2 + t’\y = 1 – t’\z = 5 + 2t’endarray ight.)

a) Hãy chứng tỏ điểm (M(1; 2; 3) ) là vấn đề chung của (d) với (d’);

b) Hãy minh chứng (d) cùng (d’) tất cả hai vecto chỉ phương không cùng phương.

Trả lời:

a) cầm cố tọa độ của (M) vào phương trình của (d) ta được:

(left{ eginarrayl1 = 3 + 2t\2 = 6 + 4t\3 = 4 + tendarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylt = – 1\t = – 1\t = – 1endarray ight. Leftrightarrow t = – 1)

Do kia (Min d).

Thay tọa độ của (M) vào phương trình của (d’) ta được:

(left{ eginarrayl1 = 2 + t’\2 = 1 – t’\3 = 5 + 2t’endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylt’ = – 1\t’ = – 1\t’ = – 1endarray ight. Leftrightarrow t’ = – 1)

Do đó (Min d’).

Vậy (M) là điểm chung của (d) và (d’).

b) Ta thấy (overrightarrow u_d = (2,4,1);overrightarrow u_d’ = (1, – 1,2)) là hai vecto ko tỉ lệ yêu cầu hai veco đó không thuộc phương.

4. Trả lời thắc mắc 4 trang 86 sgk Hình học 12

Chứng minh hai tuyến đường thẳng sau đây trùng nhau:

(d:left{ eginarraylx = 3 – t\y = 4 + t\z = 5 – 2tendarray ight.) với (d’:left{ eginarraylx = 2 – 3t’\y = 5 + 3t’\z = 3 – 6t’endarray ight.)

Trả lời:

Ta thấy: (eqalign& overrightarrow u_d = ( – 1,1, – 2);,,overrightarrow u_d’ = ( – 3,3, – 6) cr& Rightarrow overrightarrow u_d’ = 3overrightarrow u_d cr )

Có ( M (3; 4; 5) ∈ d). Thay tọa độ của (M) vào (d’) ta được:

(left{ eginarrayl3 = 2 – 3t’\4 = 5 + 3t’\5 = 3 – 6t’endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylt’ = – dfrac13\t’ = – dfrac13\t’ = – dfrac13endarray ight. Leftrightarrow t’ = – dfrac13)

Do đó (M (3; 4; 5) ∈ d’) yêu cầu (d) trùng với (d’)

5. Trả lời thắc mắc 5 trang 89 sgk Hình học 12

Tìm số giao điểm của khía cạnh phẳng ((α): x + y + z – 3 = 0 ) với đường thẳng (d) trong những trường hòa hợp sau:

(eqalign{& a),,d:left{ matrixx = 2 + t hfill cry = 3 – t hfill crz = 1 hfill cr ight. cr& b),,d:left{ matrixx = 1+2t hfill cry = 1 – t hfill crz = 1 – t hfill cr ight. cr& c),,d:left matrixx = 1 + 5t hfill cry = 1 – 4t hfill crz = 1 + 3t hfill cr ight. cr )

Trả lời:

a) Xét phương trình: ((2 + t) + (3 – t) + 1 – 3 = 0)

(⇔ 3 = 0) (vô nghiệm) ⇒ khía cạnh phẳng ((α)) và (d) không có điểm chung.

b) Xét phương trình: ((1 + 2t) + (1 – t) + (1 – t) – 3 = 0)

(⇔ 0 = 0) (vô số nghiệm) (⇒ d subset (α)).

c) Xét phương trình: ((1 + 5t) + (1 – 4t) + (1 + 3t) – 3 = 0)

(⇔ 4t = 0 ⇔ t = 0 ) ⇒ phương diện phẳng ((α)) cùng (d) tất cả (1) điểm chung.

Dưới đó là Hướng dẫn giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 89 90 91 sgk Hình học tập 12. Chúng ta hãy hiểu kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

pragamisiones.com reviews với chúng ta đầy đủ phương thức giải bài tập hình học tập 12 kèm bài bác giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 89 90 91 sgk Hình học 12 của bài xích §3. Phương trình con đường thẳng trong không gian trong Chương III. Phương pháp toạ độ trong không khí cho các bạn tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài xích tập chúng ta xem dưới đây:

Bài giải:

a) Phương trình đường thẳng (d) có dạng:

(left{eginmatrix x =5+2t\ y=4-3t\ z=1+t endmatrix ight.), với (t ∈ mathbbR).

b) Đường thẳng (d) vuông góc với khía cạnh phẳng ((α): x + y – z + 5 = 0) nên có vectơ chỉ phương (overrightarrow u = overrightarrow n _left( alpha ight) = left( 1;1; – 1 ight)).

Vậy phương trình tham số của (d) bao gồm dạng:

(left{eginmatrix x= 2+t và \ y=-1+t &,tin R .\ z=3-t& endmatrix ight.)

c) Ta có: (overrightarrowu(2 ; 3 ; 4)) là vectơ chỉ phương của (∆). Do (d // ∆) đề nghị (overrightarrowu) cũng chính là vectơ chỉ phương của (d).

Phương trình thông số của (d) tất cả dạng:

(left{eginmatrix x=2+2t và \ y=3t &,tin R. \ z=-3 + 4t & endmatrix ight.)

d) Đường trực tiếp (d) trải qua hai điểm (P(1 ; 2 ; 3)) với (Q(5 ; 4 ; 4)) bắt buộc nhận (overrightarrowPQ(4 ; 2 ; 1)) là 1 trong VTCP.

Vậy phương trình tham số bao gồm dạng:

(left{eginmatrixx= 1+4t và \ y =2+2t&,tin R. \ z=3+t& endmatrix ight.)

2. Giải bài 2 trang 89 sgk Hình học 12

Viết phương trình thông số của mặt đường thẳng là hình chiếu vuông góc của con đường thẳng (d): (left{eginmatrix x=2+t \ y=-3+2t \ z= 1+3t endmatrix ight.) theo thứ tự trên những mặt phẳng sau:

a) ((Oxy)) ;

b) ((Oyz)).

Bài giải:

a) điện thoại tư vấn (left( p. ight)) là mặt phẳng vuông góc (left( Oxy ight)) và đựng (d).

Khi đó (Delta = left( p. ight) cap left( Oxy ight)) là hình chiếu của (d) lên (left( Oxy ight)).

Phương trình khía cạnh phẳng ((Oxy)) tất cả dạng: (z = 0); vectơ (overrightarrowk)(0 ; 0 ;1) là vectơ pháp con đường của ((Oxy)).

Ta có: (left{ eginarrayloverrightarrow n_left( p ight) ot overrightarrow k \overrightarrow n_left( p ight) ot overrightarrow u_d endarray ight.) (Rightarrow overrightarrown_(P)=left = (2 ; -1 ; 0)) là vectơ pháp tuyến của ((P)).

Phương trình phương diện phẳng ((P)) gồm dạng: (2(x – 2) – (y + 3) +0.(z – 1) = 0 ) (Leftrightarrow 2x – y – 7 = 0).

(Delta = left( p ight) cap left( Oxy ight)) (Rightarrow Delta :left{eginmatrix z=0 và \ 2x-y-7=0.& endmatrix ight.)

Chọn (M_0left( 4;1;0 ight) in left( phường ight) cap left( Oxy ight)).

(Delta = left( p ight) cap left( Oxy ight)) ( Rightarrow left{ eginarrayloverrightarrow u_Delta ot overrightarrow n_left( p. ight) \overrightarrow u_Delta ot overrightarrow k endarray ight.) ( Rightarrow overrightarrow u_Delta = left< overrightarrow k ,overrightarrow n_left( p ight) ight> = left( 1;2;0 ight)).

Đường trực tiếp (Delta ) trải qua (M_0left( 4;1;0 ight)) với nhận (overrightarrow u_Delta = left( 1;2;0 ight)) có tác dụng VTCP bắt buộc (Delta :left{ eginarraylx = 4 + t\y = 1 + 2t\z = 0endarray ight.,t in mathbbR).

b) khía cạnh phẳng ((Oyz)) gồm phương trình (x = 0).

Lấy (M_1( 2 ;- 3 ; 1) ∈ d) và (M_2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d), hình chiếu vuông góc của (M_1) bên trên ((Oyz)) là (M_1)’((0 ; -3 ; 1)), hình chiếu vuông góc của (M_2) bên trên ((Oyz)) là chính nó.

Đường trực tiếp (∆) qua (M_1’,M_2) chính là hình chiếu vuông góc của (d) lên ((Oyz)).

Ta có: (overrightarrowM’_1M_2(0 ; -4 ; -6)) // (overrightarrowv (0 ; 2 ; 3)).

Phương trình (M’_1M_2) tất cả dạng: (left{eginmatrix x=0 và \ y=-3+2t&,t in R \ z=1+3t& endmatrix ight.).

3. Giải bài bác 3 trang 90 sgk Hình học 12

Xét vị trí kha khá của con đường thẳng d với d’ trong những trường hợp sau:

a) d: (left{eginmatrix x=-3+2t và \ y=-2+3t& \ z=6+4t& endmatrix ight.) và d’: (left{eginmatrix x=5+t’& \ y=-1-4t’& \ z=20+t’& endmatrix ight.) ;

b) d: (left{eginmatrix x=1+t& \ y=2+t& \ z=3-t& endmatrix ight.) với d’: (left{eginmatrix x=1+2t’& \ y=-1+2t’& \ z=2-2t’.& endmatrix ight.)

Bài giải:

a) ♦ phương pháp 1:

Đường thẳng (d) đi qua (M_1( -3 ; -2 ; 6)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrowu_1(2 ; 3 ; 4)).

Đường trực tiếp (d’) đi qua (M_2( 5 ; -1 ; 20)) và tất cả vectơ chỉ phương (overrightarrowu_2(1 ; -4 ; 1)).

Ta nhận thấy (overrightarrowu_1), (overrightarrowu_2) không cùng phương bắt buộc d cùng d’ chỉ hoàn toàn có thể cắt nhau hoặc chéo cánh nhau.

Ta gồm (left< overrightarrow u_1 ,overrightarrow u_2 ight> = left( eginarray*20ceginarrayl4\1endarray&eginarrayl2\1endarrayendarray ight ight) = left( 19;2; – 11 ight)) ; (overrightarrowM_1M_2 = (8 ; 1 ; 14) )

Mà (left .overrightarrowM_1M_2 = (19.8 + 2 – 11.14) = 0) phải (d) với (d’) giảm nhau.

♦ giải pháp 2:

Xét hệ phương trình:(left{eginmatrix -3+2t=5+t’ & (1)\ -2+3t=-1-4t’ và (2) \ 6+4t=20+t’& (3) endmatrix ight.)

Từ (1) cùng với (3), trừ vế cùng với vế ta gồm (2t = 6 ⇒ t = 3), thế vào (1) có (t’ = -2), từ kia (d) với (d’) bao gồm điểm bình thường duy tốt nhất (M(3 ; 7 ; 18)). Cho nên vì thế d với d’ giảm nhau tại M.

b) Ta có : (overrightarrowu_1(1 ; 1 ; -1)) là vectơ chỉ phương của d với (overrightarrowu_2(2 ; 2 ; -2)) là vectơ chỉ phương của d’ .

Ta thấy (overrightarrowu_1) cùng (overrightarrowu_2) thuộc phương yêu cầu d và d’ chỉ có thể song tuy vậy hoặc trùng nhau.

Lấy điểm (M(1 ; 2 ; 3) ∈d), nỗ lực tọa độ điểm (M) vào phương trình (d’) ta được: (left{ eginarrayl1 = 1 + 2t’\2 = – 1 + 2t’\3 = 2 – 2t’endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylt’ = 0\t’ = frac32\t’ = – frac12endarray ight.left( VN ight))

Vậy (M otin d’) bắt buộc (d) và (d’) song song.

4. Giải bài xích 4 trang 90 sgk Hình học 12

Tìm (a) để hai đường thẳng sau đây cắt nhau: (d:left{eginmatrix x=1+at và \ y=t & \ z= -1+2t & endmatrix ight.) với (d’:left{eginmatrix x=1-t’ và \ y=2+2t’ và \ z= 3-t’. Và endmatrix ight.)

Bài giải:

Xét hệ (left{eginmatrix 1+at=1-t’ &(1)\ t = 2+2t’ & (2)\ -1+2t=3-t’ & (3) endmatrix ight.)

Hai đường thẳng d cùng d‘ cắt nhau khi và chỉ khi hệ bao gồm nghiệm duy nhất.

Giải (2) với (3) ta bao gồm (t = 2); (t’ = 0). Nỗ lực vào phương trình (1) ta gồm (1 + 2a = 1 ⇒ a =0).

Vậy (a = 0) thì d với d’ giảm nhau.

5. Giải bài bác 5 trang 90 sgk Hình học 12

Tìm số giao điểm của đường thẳng (d) cùng mặt phẳng ($alpha$) trong số trường thích hợp sau:

a) d: $left{eginmatrixx=12+4t & & \y=9+3t và & \ z=1+t & & endmatrix ight.$ cùng ($alpha$): $3x+5y-z-2=0$

b) d: $left{eginmatrixx=1+t & & \y=2-t và & \ z=1+2t và & endmatrix ight.$ cùng ($alpha$): $x+3y+z+1=0$

c) d: $left{eginmatrixx=12+4t & & \y=1+2t & & \ z=2-3t & & endmatrix ight.$ và ($alpha$): $x+y+z-4=0$

Bài giải:

a) ♦Cách 1:

Ta có: $overrightarrowu_d=(4;3;1)$

$overrightarrown_(alpha)=(3;5;-1)$

⇒ $overrightarrowu_d.overrightarrown_(alpha)=12+15-1=26 eq 0$

⇒ $d$ giảm $(alpha) $.

♦ giải pháp 2:

Gọi (M = d cap left( alpha ight) Rightarrow M in d Rightarrow Mleft( 12 + 4t;9 + 3t;1 + t ight)). Do (M in left( alpha ight) ) bắt buộc ta có:

(3(12 + 4t) +5(9 + 3t) – (1 + t) -2 = 0)

( ⇔ 26t + 78 = 0 ⇔ t = -3).

Vậy (d ∩ (α) = M(0 ; 0 ; -2)).

b) ♦ Cách 1:

Ta có: $overrightarrowu_d=(1;-1;-2)$

$overrightarrown_(alpha)=(1;3;1)$

⇒ $overrightarrowu_d.overrightarrown_(alpha)=1-3+2= 0$

⇒ $d//(alpha)$ hoặc $d subset (alpha) $

Mặt khác: $M(1;2;1) in d$ mà lại $M otin (alpha)$

⇒ $d//(alpha)$.

♦ bí quyết 2:

Gọi (M = d cap left( alpha ight) Rightarrow M in d Rightarrow Mleft( 1 + t;2 – t;1 + 2t ight)). Vì chưng (M in left( alpha ight) ) cần ta có:

((1 + t) + 3.(2 – t) + (1 + 2t) + 1 = 0)

(⇔ 0.t +9= 0), phương trình vô nghiệm.

Chứng tỏ (d) và ((α)) không cắt nhau giỏi d // ((α)).

c) ♦ Cách 1:

Ta có: $overrightarrowu_d=(1;2;3)$

$overrightarrown_(alpha)=(1;1;1)$

⇒ $overrightarrowu_d.overrightarrown_(alpha)=1+2-3= 0$

⇒ $d//(alpha)$ hoặc $d subset (alpha) $

Mặt khác: $M(1;2;1) in d$ cùng $M in (alpha)$

⇒ $d subset (alpha) $.

♦ cách 2:

Gọi (M = d cap left( alpha ight) Rightarrow M in d Rightarrow Mleft( 1 + t;1 + 2t;2 – 3t ight)). Bởi (M in left( alpha ight) ) đề nghị ta có:

((1 + t) + (1+ 2t) + (2 – 3t) – 4 = 0)

(⇔ 0t + 0 = 0)

Phương trình này còn có vô số nghiệm, chứng minh (d ⊂ (α)) .

6. Giải bài bác 6 trang 90 sgk Hình học 12

Tính khoảng cách giữa đường thẳng ∆ : $left{eginmatrixx=-3+2t và & \y=-1+3t và & \ z=-1+2t và & endmatrix ight.$ với mặt phẳng ($alpha$): $2x-2y+z+3=0$

Bài giải:

Đường trực tiếp ∆ qua $M(-3;-1;-1)$ gồm $overrightarrowu_d=(2;3;2)$ và $overrightarrown_(alpha)=(2;-2;1)$

⇒ $overrightarrowu_d.overrightarrown_(alpha)=4-6+2=0$

⇒ $Delta //(alpha )$ hoặc $Delta subset (alpha )$

Mặt khác: $M(-3;-1;-1)in Delta $ cơ mà $M otin (alpha )$

⇒ $Delta //(alpha )$.

⇒ $d(Delta ,(alpha ))=d(M,(alpha ))=frac 2.(-3)-2(-1)-1+3 ight sqrt4+4+1=frac23$

Vậy $d(Delta ,(alpha ))=frac23$.

7. Giải bài bác 7 trang 91 sgk Hình học tập 12

Cho điểm (A(1 ; 0 ; 0)) và mặt đường thẳng (∆): (left{eginmatrix x=2+t và \ y=1+2t và \ z=t và endmatrix ight.).

a) tra cứu tọa độ điểm (H) là hình chiếu vuông góc của điểm (A) trên tuyến đường thẳng (∆).

b) tìm tọa độ điểm (A’) đối xứng cùng với (A) qua đường thẳng (∆).

Bài giải:

a) Đường thẳng (∆) tất cả vectơ chỉ phương (overrightarrowu(1 ; 2 ; 1)). (H ∈ ∆) phải (H(2 + t ; 1 + 2t ; t)).

Điểm (H ∈ ∆) là hình chiếu vuông góc của (A) lên (∆) khi còn chỉ khi (overrightarrowAHot) (overrightarrowu).

Ta gồm (overrightarrowAH(1+t ; 1 + 2t ; t)) nên:

(overrightarrowAH) ⊥ (overrightarrowu) ⇔ (overrightarrowu.overrightarrowAH) = 0.

⇔ (1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0)

⇔ (6t + 3 = 0 ⇔ t = -frac12).

⇔ (Hleft (frac32;0;-frac12 ight )).

b) điện thoại tư vấn (A’) là vấn đề đối xứng của (A) qua (∆) cùng (H) là hình chiếu vuông góc của (A) lên (∆) thì (H) là trung điểm của (AA’).

( Rightarrow left{ eginarraylx_A’ = 2x_H – x_A = 2.frac32 – 1 = 2\y_A’ = 2y_H – y_A = 2.0 – 0 = 0\z_A’ = 2z_H – z_A = 2.left( – frac12 ight) – 0 = – 1endarray ight. Rightarrow A’left( 2;0; – 1 ight))

Vậy $A"(2;0;-1)$.

8. Giải bài xích 8 trang 91 sgk Hình học 12

Cho điểm (M(1 ; 4 ; 2)) cùng mặt phẳng ((α): x + y + z -1 = 0).

a) tìm tọa độ điểm (H) là hình chiếu vuông góc của điểm (M) cùng bề mặt phẳng ((α)) ;

b) kiếm tìm tọa độ điểm (M’) đối xứng với (M) qua phương diện phẳng ((α)).

c) Tính khoảng cách từ điểm (M) đến mặt phẳng ((α)).

Bài giải:

a) Xét đường thẳng (d) qua (M) và (d ⊥ (α)).

Vectơ (overrightarrown(1 ; 1 ; 1)) là vectơ pháp tuyến đường của ((α)) yêu cầu (overrightarrown) là vectơ chỉ phương của (d).

Phương trình thông số của con đường thẳng (d) tất cả dạng: (left{eginmatrix x=1+t và \ y=4+t & \ z=2+t và endmatrix ight.).

Gọi (H = d cap left( phường ight)), (H in d Rightarrow Hleft( 1 + t;4 + t;2 + t ight)), bởi (H in alpha) đề nghị ta có:

(1 + t + 4 + t + 2 + t – 1 = 0 Leftrightarrow 3t + 6 = 0)

(Leftrightarrow t = – 2 Rightarrow Hleft( – 1;2;0 ight))

b) call (M"(x ; y ; z)) là điểm đối xứng của (M) qua khía cạnh phẳng ((α)), thì hình chiếu vuông góc (H) của (M) xuống ((α)) đó là trung điểm của (MM’).

Ta có:

(left{ eginarraylx_M’ = 2x_H – x_M = 2.left( – 1 ight) – 1 = – 3\y_M’ = 2y_H – y_M = 2.2 – 4 = 0\z_M’ = 2z_H – z_M = 2.0 – 2 = – 2endarray ight. Rightarrow M’left( – 3;0; – 2 ight))

c) Tính khoảng cách từ điểm (M) mang lại mặt phẳng ((α))

♦ biện pháp 1:

(d(M,(alpha ))=frac1+4+2-1sqrt1+1+1=frac6sqrt3=2sqrt3).

♦ biện pháp 2: khoảng cách từ M cho (α) chính là khoảng bí quyết MH:

(d(M,(α) )= MH) = (sqrt2^2+2^2+2^2=2sqrt3).

9. Giải bài bác 9 trang 91 sgk Hình học 12

Cho hai tuyến phố thẳng: (d): (left{eginmatrix x=1-t \ y=2+2t \ z=3t endmatrix ight.) và (d’): (left{eginmatrix x=1+t’ \ y=3-2t’ \ z=1 endmatrix ight.). Chứng minh (d) cùng (d’) chéo nhau.

Bài giải:

Đường trực tiếp (d) qua điểm (M(1 ; 2 ; 0)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrowu(-1 ; 2 ; 3)).

Đường thẳng (d’) qua điểm (M"(1 ; 3 ;1)) và gồm vectơ chỉ phương (overrightarrowu’(1 ; -2 ; 0)).

Dễ thấy (overrightarrow u ;overrightarrow u’ ) không cùng phương, cho nên vì thế $d$ với $d’$ hoặc cắt nhau, hoặc chéo cánh nhau.

Xét (left =left (eginvmatrix 2 và 3\ -2&0 endvmatrix;eginvmatrix 3 &-1 \ 0&1 endvmatrix;eginvmatrix -1 và 2\ 1& -2 endvmatrix ight ) = (6 ; 3 ;0))

(overrightarrowMM’ = (0 ; 1 ; 1)).

Ta tất cả : (left .overrightarrowMM’= 6.0 + 3.1 + 0.1 = 3≠ 0)

Vậy (d) và (d’) chéo nhau.

10. Giải bài 10 trang 91 sgk Hình học 12

Giải bài bác toán tiếp sau đây bằng phương thức tọa độ. Mang lại hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.

Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C).

Xem thêm: Chất Phóng Xạ Pôlôni Phát Ra Tia Anpha Và Biến Đổi Thành Chì

Bài giải:

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ làm thế nào cho $A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0)$, $D(0 ; 1; 0), A"(0 ; 0 ; 1)$

⇒ $B"(1 ; 0 ; 1), D"(0 ; 1 ; 1), C(1 ; 1 ; 0)$.

⇒ Phương trình phương diện phẳng $(A’BD)$ có dạng: $x + y + z – 1 = 0$ (1)

⇒ $d(A,(A’BD ))=frac 0+0+0-1 ight sqrt1+1+1=frac1sqrt3$

Mặt khác: $mp(B’D’C) // mp(A’BD)$

⇒ Phương trình mặt phẳng (B’D’C) gồm dạng: $x+y+z+D=0$

Ta lại có: $mp(B’D’C)$ đi qua $C(1;1;0) ⇒ D=-2$

⇒ Phương trình khía cạnh phẳng $(B’D’C)$ tất cả dạng: $x+y+z-2=0$

⇒ $d(A,(B’D’C ))=fracleft sqrt1+1+1=frac2sqrt3$

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài xuất sắc cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 89 90 91 sgk Hình học 12!